פתור את {l}{2p+3m=8}{p+2m=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 p + 3 m = 8 } \\ { p + 2 m = 6 } \end{array} \right.$$

פתור עבור p, m

$$p=-2$$

$$m=4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור p על-ידי בידוד p בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2p+3m=8$$

החסר ‎3m משני אגפי המשוואה.

$$2p=-3m+8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$p=\frac{1}{2}\left(-3m+8\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3m+8.

$$p=-\frac{3}{2}m+4$$

השתמש ב- ‎-\frac{3m}{2}+4 במקום ‎p במשוואה השניה, ‎p+2m=6.

$$-\frac{3}{2}m+4+2m=6$$

הוסף את ‎-\frac{3m}{2} ל- ‎2m.

$$\frac{1}{2}m+4=6$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{2}m=2$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎2.

$$m=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום m ב- ‎p=-\frac{3}{2}m+4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את p ישירות.

$$p=-\frac{3}{2}\times 4+4$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎4.

$$p=-6+4$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-6.

$$p=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$p=-2,m=4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{3}{2\times 2-3}\\-\frac{1}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 8-3\times 6\\-8+2\times 6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה p ו- m.

$$p=-2,m=4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

כדי להפוך את ‎2p ו- ‎p לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$2p+3m=8,2p+2\times 2m=2\times 6$$

פשט.

$$2p+3m=8,2p+4m=12$$

החסר את ‎2p+4m=12 מ- ‎2p+3m=8 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2p-2p+3m-4m=8-12$$

הוסף את ‎2p ל- ‎-2p. האיברים ‎2p ו- ‎-2p מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3m-4m=8-12$$

הוסף את ‎3m ל- ‎-4m.

$$-m=8-12$$

הוסף את ‎8 ל- ‎-12.

$$-m=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$m=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום m ב- ‎p+2m=6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את p ישירות.

$$p+2\times 4=6$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$p+8=6$$

החסר ‎8 משני אגפי המשוואה.

$$p=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$p=-2,m=4$$