פתור את {l}{2(x+y)-3(x-y)=4}{5(x+y)-7(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 4 } \\ { 5 ( x + y ) - 7 ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-19$$

$$y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -3 ב- x-y.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

כנס את ‎2x ו- ‎-3x כדי לקבל ‎-x.

$$-x+2y+3y=4$$

כנס את ‎2y ו- ‎3y כדי לקבל ‎5y.

$$-x+5y=4$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 5 ב- x+y.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -7 ב- x-y.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

כנס את ‎5x ו- ‎-7x כדי לקבל ‎-2x.

$$-2x+5y+7y=2$$

כנס את ‎5y ו- ‎7y כדי לקבל ‎12y.

$$-2x+12y=2$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-x+5y=4$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$-x=-5y+4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=-\left(-5y+4\right)$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-5y+4.

$$x=5y-4$$

השתמש ב- ‎5y-4 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-2x+12y=2.

$$-2\left(5y-4\right)+12y=2$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎5y-4.

$$-10y+8+12y=2$$

הוסף את ‎-10y ל- ‎12y.

$$2y+8=2$$

החסר ‎8 משני אגפי המשוואה.

$$2y=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎x=5y-4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=5\left(-3\right)-4$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-3.

$$x=-15-4$$

הוסף את ‎-4 ל- ‎-15.

$$x=-19$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-19,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -3 ב- x-y.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

כנס את ‎2x ו- ‎-3x כדי לקבל ‎-x.

$$-x+2y+3y=4$$

כנס את ‎2y ו- ‎3y כדי לקבל ‎5y.

$$-x+5y=4$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 5 ב- x+y.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -7 ב- x-y.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

כנס את ‎5x ו- ‎-7x כדי לקבל ‎-2x.

$$-2x+5y+7y=2$$

כנס את ‎5y ו- ‎7y כדי לקבל ‎12y.

$$-2x+12y=2$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{-12-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-12-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-12-5\left(-2\right)}&-\frac{1}{-12-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6&\frac{5}{2}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\times 4+\frac{5}{2}\times 2\\-4+\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\-3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-19,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -3 ב- x-y.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

כנס את ‎2x ו- ‎-3x כדי לקבל ‎-x.

$$-x+2y+3y=4$$

כנס את ‎2y ו- ‎3y כדי לקבל ‎5y.

$$-x+5y=4$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 5 ב- x+y.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -7 ב- x-y.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

כנס את ‎5x ו- ‎-7x כדי לקבל ‎-2x.

$$-2x+5y+7y=2$$

כנס את ‎5y ו- ‎7y כדי לקבל ‎12y.

$$-2x+12y=2$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

כדי להפוך את ‎-x ו- ‎-2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-1.

$$-2\left(-1\right)x-2\times 5y=-2\times 4,-\left(-2\right)x-12y=-2$$

פשט.

$$2x-10y=-8,2x-12y=-2$$

החסר את ‎2x-12y=-2 מ- ‎2x-10y=-8 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x-10y+12y=-8+2$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-10y+12y=-8+2$$

הוסף את ‎-10y ל- ‎12y.

$$2y=-8+2$$

הוסף את ‎-8 ל- ‎2.

$$2y=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎-2x+12y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-2x+12\left(-3\right)=2$$

הכפל את ‎12 ב- ‎-3.

$$-2x-36=2$$

הוסף ‎36 לשני אגפי המשוואה.

$$-2x=38$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=-19$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-19,y=-3$$