פתור את {l}{2(x+2)-3(y-1)=13}{3(x+2)+5(y-1)=30.9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 2 ) - 3 ( y - 1 ) = 13 } \\ { 3 ( x + 2 ) + 5 ( y - 1 ) = 30.9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=6.3$$

$$y=2.2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13,3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13$$

הכפל את ‎2 ב- ‎x+2.

$$2x+4-3\left(y-1\right)=13$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎y-1.

$$2x+4-3y+3=13$$

הוסף את ‎4 ל- ‎3.

$$2x-3y+7=13$$

החסר ‎7 משני אגפי המשוואה.

$$2x-3y=6$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=3y+6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎6+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+3$$

השתמש ב- ‎\frac{3y}{2}+3 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9.

$$3\left(\frac{3}{2}y+3+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

הוסף את ‎3 ל- ‎2.

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y+15+5\left(y-1\right)=30.9$$

הכפל את ‎5 ב- ‎y-1.

$$\frac{9}{2}y+15+5y-5=30.9$$

הוסף את ‎\frac{9y}{2} ל- ‎5y.

$$\frac{19}{2}y+15-5=30.9$$

הוסף את ‎15 ל- ‎-5.

$$\frac{19}{2}y+10=30.9$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{19}{2}y=20.9$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{19}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{11}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{11}{5} במקום y ב- ‎x=\frac{3}{2}y+3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{11}{5}+3$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎\frac{11}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{33}{10}+3$$

הוסף את ‎3 ל- ‎\frac{33}{10}.

$$x=\frac{63}{10}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{63}{10},y=\frac{11}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13,3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

פשט את המשוואה הראשונה כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13$$

הכפל את ‎2 ב- ‎x+2.

$$2x+4-3\left(y-1\right)=13$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎y-1.

$$2x+4-3y+3=13$$

הוסף את ‎4 ל- ‎3.

$$2x-3y+7=13$$

החסר ‎7 משני אגפי המשוואה.

$$2x-3y=6$$

פשט את המשוואה השניה כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית.

$$3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

הכפל את ‎3 ב- ‎x+2.

$$3x+6+5\left(y-1\right)=30.9$$

הכפל את ‎5 ב- ‎y-1.

$$3x+6+5y-5=30.9$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-5.

$$3x+5y+1=30.9$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$3x+5y=29.9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 6+\frac{3}{19}\times 29.9\\-\frac{3}{19}\times 6+\frac{2}{19}\times 29.9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{10}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{63}{10},y=\frac{11}{5}$$