פתור את {l}{150y+200x=1000}{100y+400x=1200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 150 y + 200 x = 1000 } \\ { 100 y + 400 x = 1200 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=2$$

$$y=4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$150y+200x=1000$$

החסר ‎200x משני אגפי המשוואה.

$$150y=-200x+1000$$

חלק את שני האגפים ב- ‎150.

$$y=\frac{1}{150}\left(-200x+1000\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{150} ב- ‎-200x+1000.

$$y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-4x+20}{3} במקום ‎y במשוואה השניה, ‎100y+400x=1200.

$$100\left(-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}\right)+400x=1200$$

הכפל את ‎100 ב- ‎\frac{-4x+20}{3}.

$$-\frac{400}{3}x+\frac{2000}{3}+400x=1200$$

הוסף את ‎-\frac{400x}{3} ל- ‎400x.

$$\frac{800}{3}x+\frac{2000}{3}=1200$$

החסר ‎\frac{2000}{3} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{800}{3}x=\frac{1600}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{800}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום x ב- ‎y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=-\frac{4}{3}\times 2+\frac{20}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{4}{3} ב- ‎2.

$$y=\frac{-8+20}{3}$$

הוסף את ‎\frac{20}{3} ל- ‎-\frac{8}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=4,x=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{400}{150\times 400-200\times 100}&-\frac{200}{150\times 400-200\times 100}\\-\frac{100}{150\times 400-200\times 100}&\frac{150}{150\times 400-200\times 100}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100}&-\frac{1}{200}\\-\frac{1}{400}&\frac{3}{800}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100}\times 1000-\frac{1}{200}\times 1200\\-\frac{1}{400}\times 1000+\frac{3}{800}\times 1200\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=4,x=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

כדי להפוך את ‎150y ו- ‎100y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎100 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎150.

$$100\times 150y+100\times 200x=100\times 1000,150\times 100y+150\times 400x=150\times 1200$$

פשט.

$$15000y+20000x=100000,15000y+60000x=180000$$

החסר את ‎15000y+60000x=180000 מ- ‎15000y+20000x=100000 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$15000y-15000y+20000x-60000x=100000-180000$$

הוסף את ‎15000y ל- ‎-15000y. האיברים ‎15000y ו- ‎-15000y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$20000x-60000x=100000-180000$$

הוסף את ‎20000x ל- ‎-60000x.

$$-40000x=100000-180000$$

הוסף את ‎100000 ל- ‎-180000.

$$-40000x=-80000$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-40000.

$$x=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום x ב- ‎100y+400x=1200. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$100y+400\times 2=1200$$

הכפל את ‎400 ב- ‎2.

$$100y+800=1200$$

החסר ‎800 משני אגפי המשוואה.

$$100y=400$$

חלק את שני האגפים ב- ‎100.

$$y=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=4,x=2$$