פתור את {l}{1=4k+l}{-4=-3k+l}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 1 = 4 k + l } \\ { - 4 = - 3 k + l } \end{array} \right.$$

פתור עבור k, l

$$k=\frac{5}{7}\approx 0.714285714$$

$$l = -\frac{13}{7} = -1\frac{6}{7} \approx -1.857142857$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$4k+l=1$$

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$-3k+l=-4$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4k+l=1,-3k+l=-4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור k על-ידי בידוד k בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4k+l=1$$

החסר ‎l משני אגפי המשוואה.

$$4k=-l+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$k=\frac{1}{4}\left(-l+1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-l+1.

$$k=-\frac{1}{4}l+\frac{1}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{-l+1}{4} במקום ‎k במשוואה השניה, ‎-3k+l=-4.

$$-3\left(-\frac{1}{4}l+\frac{1}{4}\right)+l=-4$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎\frac{-l+1}{4}.

$$\frac{3}{4}l-\frac{3}{4}+l=-4$$

הוסף את ‎\frac{3l}{4} ל- ‎l.

$$\frac{7}{4}l-\frac{3}{4}=-4$$

הוסף ‎\frac{3}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{7}{4}l=-\frac{13}{4}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{7}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$l=-\frac{13}{7}$$

השתמש ב- ‎-\frac{13}{7} במקום l ב- ‎k=-\frac{1}{4}l+\frac{1}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את k ישירות.

$$k=-\frac{1}{4}\left(-\frac{13}{7}\right)+\frac{1}{4}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{4} ב- ‎-\frac{13}{7} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$k=\frac{13}{28}+\frac{1}{4}$$

הוסף את ‎\frac{1}{4} ל- ‎\frac{13}{28} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$k=\frac{5}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$k=\frac{5}{7},l=-\frac{13}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$4k+l=1$$

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$-3k+l=-4$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4k+l=1,-3k+l=-4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\l\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\l\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\l\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}k\\l\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}k\\l\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\right)}&-\frac{1}{4-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-3\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}k\\l\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{3}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}k\\l\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}-\frac{1}{7}\left(-4\right)\\\frac{3}{7}+\frac{4}{7}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}k\\l\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\\-\frac{13}{7}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה k ו- l.

$$k=\frac{5}{7},l=-\frac{13}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$4k+l=1$$

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$-3k+l=-4$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4k+l=1,-3k+l=-4$$

החסר את ‎-3k+l=-4 מ- ‎4k+l=1 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$4k+3k+l-l=1+4$$

הוסף את ‎l ל- ‎-l. האיברים ‎l ו- ‎-l מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4k+3k=1+4$$

הוסף את ‎4k ל- ‎3k.

$$7k=1+4$$

הוסף את ‎1 ל- ‎4.

$$7k=5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$k=\frac{5}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{7} במקום k ב- ‎-3k+l=-4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את l ישירות.

$$-3\times \frac{5}{7}+l=-4$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎\frac{5}{7}.

$$-\frac{15}{7}+l=-4$$

הוסף ‎\frac{15}{7} לשני אגפי המשוואה.

$$l=-\frac{13}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$k=\frac{5}{7},l=-\frac{13}{7}$$