פתור את {l}{-7x-4y=62}{3x+y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 7 x - 4 y = 62 } \\ { 3 x + y = - 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{54}{5} = 10\frac{4}{5} = 10.8$$

$$y = -\frac{172}{5} = -34\frac{2}{5} = -34.4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-7x-4y=62$$

הוסף ‎4y לשני אגפי המשוואה.

$$-7x=4y+62$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(4y+62\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{7} ב- ‎4y+62.

$$x=-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{-4y-62}{7} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+y=-2.

$$3\left(-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7}\right)+y=-2$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-4y-62}{7}.

$$-\frac{12}{7}y-\frac{186}{7}+y=-2$$

הוסף את ‎-\frac{12y}{7} ל- ‎y.

$$-\frac{5}{7}y-\frac{186}{7}=-2$$

הוסף ‎\frac{186}{7} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{5}{7}y=\frac{172}{7}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{5}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{172}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{172}{5} במקום y ב- ‎x=-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{4}{7}\left(-\frac{172}{5}\right)-\frac{62}{7}$$

הכפל את ‎-\frac{4}{7} ב- ‎-\frac{172}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{688}{35}-\frac{62}{7}$$

הוסף את ‎-\frac{62}{7} ל- ‎\frac{688}{35} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{54}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-7-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{-7-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{-7-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{7}{-7-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\\-\frac{3}{5}&-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 62+\frac{4}{5}\left(-2\right)\\-\frac{3}{5}\times 62-\frac{7}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{54}{5}\\-\frac{172}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

כדי להפוך את ‎-7x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-7.

$$3\left(-7\right)x+3\left(-4\right)y=3\times 62,-7\times 3x-7y=-7\left(-2\right)$$

פשט.

$$-21x-12y=186,-21x-7y=14$$

החסר את ‎-21x-7y=14 מ- ‎-21x-12y=186 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-21x+21x-12y+7y=186-14$$

הוסף את ‎-21x ל- ‎21x. האיברים ‎-21x ו- ‎21x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-12y+7y=186-14$$

הוסף את ‎-12y ל- ‎7y.

$$-5y=186-14$$

הוסף את ‎186 ל- ‎-14.

$$-5y=172$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$y=-\frac{172}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{172}{5} במקום y ב- ‎3x+y=-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-\frac{172}{5}=-2$$

הוסף ‎\frac{172}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$3x=\frac{162}{5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{54}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$