פתור את {l}{-4x+y=-15}{2x-3y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 4 x + y = - 15 } \\ { 2 x - 3 y = 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=4$$

$$y=1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-4x+y=-15,2x-3y=5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-4x+y=-15$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$-4x=-y-15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-y-15\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{4} ב- ‎-y-15.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{15+y}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-3y=5.

$$2\left(\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}\right)-3y=5$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{15+y}{4}.

$$\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}-3y=5$$

הוסף את ‎\frac{y}{2} ל- ‎-3y.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}=5$$

החסר ‎\frac{15}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{5}{2}y=-\frac{5}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{5}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1+15}{4}$$

הוסף את ‎\frac{15}{4} ל- ‎\frac{1}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-4x+y=-15,2x-3y=5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-4\left(-3\right)-2}&-\frac{1}{-4\left(-3\right)-2}\\-\frac{2}{-4\left(-3\right)-2}&-\frac{4}{-4\left(-3\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\\-\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}\left(-15\right)-\frac{1}{10}\times 5\\-\frac{1}{5}\left(-15\right)-\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=4,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-4x+y=-15,2x-3y=5$$

כדי להפוך את ‎-4x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-4.

$$2\left(-4\right)x+2y=2\left(-15\right),-4\times 2x-4\left(-3\right)y=-4\times 5$$

פשט.

$$-8x+2y=-30,-8x+12y=-20$$

החסר את ‎-8x+12y=-20 מ- ‎-8x+2y=-30 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-8x+8x+2y-12y=-30+20$$

הוסף את ‎-8x ל- ‎8x. האיברים ‎-8x ו- ‎8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2y-12y=-30+20$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-12y.

$$-10y=-30+20$$

הוסף את ‎-30 ל- ‎20.

$$-10y=-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-10.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎2x-3y=5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-3=5$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=1$$