פתור את {l}{-3x+y=-1}{5x-2y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 x + y = - 1 } \\ { 5 x - 2 y = 11 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-9$$

$$y=-28$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-3x+y=-1,5x-2y=11$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-3x+y=-1$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$-3x=-y-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-y-1\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎-y-1.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{1+y}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x-2y=11.

$$5\left(\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)-2y=11$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{1+y}{3}.

$$\frac{5}{3}y+\frac{5}{3}-2y=11$$

הוסף את ‎\frac{5y}{3} ל- ‎-2y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}=11$$

החסר ‎\frac{5}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{28}{3}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=-28$$

השתמש ב- ‎-28 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{3}\left(-28\right)+\frac{1}{3}$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-28.

$$x=\frac{-28+1}{3}$$

הוסף את ‎\frac{1}{3} ל- ‎-\frac{28}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-9,y=-28$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-3x+y=-1,5x-2y=11$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-3\left(-2\right)-5}&-\frac{1}{-3\left(-2\right)-5}\\-\frac{5}{-3\left(-2\right)-5}&-\frac{3}{-3\left(-2\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-1\\-5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\left(-1\right)-11\\-5\left(-1\right)-3\times 11\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-28\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-9,y=-28$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-3x+y=-1,5x-2y=11$$

כדי להפוך את ‎-3x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-3.

$$5\left(-3\right)x+5y=5\left(-1\right),-3\times 5x-3\left(-2\right)y=-3\times 11$$

פשט.

$$-15x+5y=-5,-15x+6y=-33$$

החסר את ‎-15x+6y=-33 מ- ‎-15x+5y=-5 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-15x+15x+5y-6y=-5+33$$

הוסף את ‎-15x ל- ‎15x. האיברים ‎-15x ו- ‎15x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$5y-6y=-5+33$$

הוסף את ‎5y ל- ‎-6y.

$$-y=-5+33$$

הוסף את ‎-5 ל- ‎33.

$$-y=28$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=-28$$

השתמש ב- ‎-28 במקום y ב- ‎5x-2y=11. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x-2\left(-28\right)=11$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-28.

$$5x+56=11$$

החסר ‎56 משני אגפי המשוואה.

$$5x=-45$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=-9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-9,y=-28$$