פתור את {l}{x-y/5-y/2=x-1}{x/3+y+2/2=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - y } { 5 } - \frac { y } { 2 } = x - 1 } \\ { \frac { x } { 3 } + \frac { y + 2 } { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 10, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,2.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x-y.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

כנס את ‎-2y ו- ‎-5y כדי לקבל ‎-7y.

$$2x-7y=10x-10$$

החסר ‎10x משני האגפים.

$$2x-7y-10x=-10$$

כנס את ‎2x ו- ‎-10x כדי לקבל ‎-8x.

$$-8x-7y=-10$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,2.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- y+2.

$$2x+3y+6=6$$

החסר ‎6 משני האגפים.

$$2x+3y=6-6$$

החסר את 6 מ- 6 כדי לקבל 0.

$$2x+3y=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-8x-7y=-10$$

הוסף ‎7y לשני אגפי המשוואה.

$$-8x=7y-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(7y-10\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{8} ב- ‎7y-10.

$$x=-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}$$

השתמש ב- ‎-\frac{7y}{8}+\frac{5}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+3y=0.

$$2\left(-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}\right)+3y=0$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{7y}{8}+\frac{5}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{5}{2}+3y=0$$

הוסף את ‎-\frac{7y}{4} ל- ‎3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{2}=0$$

החסר ‎\frac{5}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{5}{4}y=-\frac{5}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{5}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{7}{8}\left(-2\right)+\frac{5}{4}$$

הכפל את ‎-\frac{7}{8} ב- ‎-2.

$$x=\frac{7+5}{4}$$

הוסף את ‎\frac{5}{4} ל- ‎\frac{7}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 10, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,2.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x-y.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

כנס את ‎-2y ו- ‎-5y כדי לקבל ‎-7y.

$$2x-7y=10x-10$$

החסר ‎10x משני האגפים.

$$2x-7y-10x=-10$$

כנס את ‎2x ו- ‎-10x כדי לקבל ‎-8x.

$$-8x-7y=-10$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,2.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- y+2.

$$2x+3y+6=6$$

החסר ‎6 משני האגפים.

$$2x+3y=6-6$$

החסר את 6 מ- 6 כדי לקבל 0.

$$2x+3y=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{8}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}&-\frac{7}{10}\\\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}\left(-10\right)\\\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 10, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,2.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x-y.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

כנס את ‎-2y ו- ‎-5y כדי לקבל ‎-7y.

$$2x-7y=10x-10$$

החסר ‎10x משני האגפים.

$$2x-7y-10x=-10$$

כנס את ‎2x ו- ‎-10x כדי לקבל ‎-8x.

$$-8x-7y=-10$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,2.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- y+2.

$$2x+3y+6=6$$

החסר ‎6 משני האגפים.

$$2x+3y=6-6$$

החסר את 6 מ- 6 כדי לקבל 0.

$$2x+3y=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

כדי להפוך את ‎-8x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-8.

$$2\left(-8\right)x+2\left(-7\right)y=2\left(-10\right),-8\times 2x-8\times 3y=0$$

פשט.

$$-16x-14y=-20,-16x-24y=0$$

החסר את ‎-16x-24y=0 מ- ‎-16x-14y=-20 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-16x+16x-14y+24y=-20$$

הוסף את ‎-16x ל- ‎16x. האיברים ‎-16x ו- ‎16x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-14y+24y=-20$$

הוסף את ‎-14y ל- ‎24y.

$$10y=-20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎2x+3y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+3\left(-2\right)=0$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-2.

$$2x-6=0$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=-2$$