פתור את {l}{x/3-y/2=4}{x+y/12=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 4 } \\ { x + \frac { y } { 12 } = 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{48}{19} = 2\frac{10}{19} \approx 2.526315789$$

$$y = -\frac{120}{19} = -6\frac{6}{19} \approx -6.315789474$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,2.

$$2x-3y=24$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎12.

$$12x+y=24$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-3y=24$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=3y+24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+24\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎24+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+12$$

השתמש ב- ‎\frac{3y}{2}+12 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎12x+y=24.

$$12\left(\frac{3}{2}y+12\right)+y=24$$

הכפל את ‎12 ב- ‎\frac{3y}{2}+12.

$$18y+144+y=24$$

הוסף את ‎18y ל- ‎y.

$$19y+144=24$$

החסר ‎144 משני אגפי המשוואה.

$$19y=-120$$

חלק את שני האגפים ב- ‎19.

$$y=-\frac{120}{19}$$

השתמש ב- ‎-\frac{120}{19} במקום y ב- ‎x=\frac{3}{2}y+12. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{120}{19}\right)+12$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎-\frac{120}{19} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{180}{19}+12$$

הוסף את ‎12 ל- ‎-\frac{180}{19}.

$$x=\frac{48}{19}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,2.

$$2x-3y=24$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎12.

$$12x+y=24$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 12\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 12\right)}\\-\frac{12}{2-\left(-3\times 12\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{38}&\frac{3}{38}\\-\frac{6}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{38}\times 24+\frac{3}{38}\times 24\\-\frac{6}{19}\times 24+\frac{1}{19}\times 24\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{19}\\-\frac{120}{19}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,2.

$$2x-3y=24$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎12.

$$12x+y=24$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎12x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎12 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$12\times 2x+12\left(-3\right)y=12\times 24,2\times 12x+2y=2\times 24$$

פשט.

$$24x-36y=288,24x+2y=48$$

החסר את ‎24x+2y=48 מ- ‎24x-36y=288 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$24x-24x-36y-2y=288-48$$

הוסף את ‎24x ל- ‎-24x. האיברים ‎24x ו- ‎-24x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-36y-2y=288-48$$

הוסף את ‎-36y ל- ‎-2y.

$$-38y=288-48$$

הוסף את ‎288 ל- ‎-48.

$$-38y=240$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-38.

$$y=-\frac{120}{19}$$

השתמש ב- ‎-\frac{120}{19} במקום y ב- ‎12x+y=24. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$12x-\frac{120}{19}=24$$

הוסף ‎\frac{120}{19} לשני אגפי המשוואה.

$$12x=\frac{576}{19}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12.

$$x=\frac{48}{19}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$