פתור את {l}{x^2/4+y^2/2=1}{x=my+1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 } \\ { x = m y + 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}$$

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה ובנוסחה ריבועית

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 4, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 4,2.

$$x^{2}+2y^{2}=4$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎my משני האגפים.

$$x-my=1$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+\left(-m\right)y=1,2y^{2}+x^{2}=4$$

פתור את ‎x+\left(-m\right)y=1 עבור ‎x על-ידי בידוד ‎x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+\left(-m\right)y=1$$

החסר ‎\left(-m\right)y משני אגפי המשוואה.

$$x=my+1$$

השתמש ב- ‎my+1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2y^{2}+x^{2}=4.

$$2y^{2}+\left(my+1\right)^{2}=4$$

‎my+1 בריבוע.

$$2y^{2}+m^{2}y^{2}+2my+1=4$$

הוסף את ‎2y^{2} ל- ‎m^{2}y^{2}.

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my+1=4$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my-3=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2+1m^{2} במקום a, ב- 1\times 1\times 2m במקום b, וב- -3 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{\left(2m\right)^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

‎1\times 1\times 2m בריבוע.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2+1m^{2}.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+\left(-4m^{2}-8\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

הכפל את ‎-8-4m^{2} ב- ‎-3.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+12m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

הוסף את ‎4m^{2} ל- ‎24+12m^{2}.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{16m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 24+16m^{2}.

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2+1m^{2}.

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-2m ל- ‎2\sqrt{6+4m^{2}}.

$$y=\frac{2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

חלק את ‎-2m+2\sqrt{6+4m^{2}} ב- ‎4+2m^{2}.

$$y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2\sqrt{6+4m^{2}} מ- ‎-2m.

$$y=\frac{-2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

חלק את ‎-2m-2\sqrt{6+4m^{2}} ב- ‎4+2m^{2}.

$$y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

ישנם שני פתרונות עבור ‎y‏: ‎\frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} ו- ‎-\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}. השתמש ב- ‎\frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} במקום ‎y במשוואה ‎x=my+1 כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎x שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$x=m\times \frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}+1$$

הכפל את ‎m ב- ‎\frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}.

$$x=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m+1$$

הוסף את ‎m\times \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} ל- ‎1.

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m$$

כעת השתמש ב- ‎-\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} במקום ‎y במשוואה x=my+1 ופתור כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎x שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$x=m\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)+1$$

הכפל את ‎m ב- ‎-\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}.

$$x=\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m+1$$

הוסף את ‎m\left(-\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}\right) ל- ‎1.

$$x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m,y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}\text{ or }x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m,y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

פתור עבור x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}\text{; }x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}\text{, }&m\neq -\sqrt{2}i\text{ and }m\neq \sqrt{2}i\\x=\frac{5}{2}=2.5\text{, }y=\frac{3}{2m}\text{, }&m=-\sqrt{2}i\text{ or }m=\sqrt{2}i\end{matrix}\right.$$