\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 } { 2 } x + \frac { 1 } { 3 } y = 1 } \\ { \frac { x } { 4 } - \frac { 1 } { 6 } y = - \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.
פתור עבור x, y
x=-1
y = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7.5
גרף
שתף
הועתק ללוח
\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}
כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.
\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}y=1
בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.
\frac{3}{2}x=-\frac{1}{3}y+1
החסר \frac{y}{3} משני אגפי המשוואה.
x=\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{3}y+1\right)
חלק את שני אגפי המשוואה ב- \frac{3}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.
x=-\frac{2}{9}y+\frac{2}{3}
הכפל את \frac{2}{3} ב- -\frac{y}{3}+1.
\frac{1}{4}\left(-\frac{2}{9}y+\frac{2}{3}\right)-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}
השתמש ב- -\frac{2y}{9}+\frac{2}{3} במקום x במשוואה השניה, \frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}.
-\frac{1}{18}y+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}
הכפל את \frac{1}{4} ב- -\frac{2y}{9}+\frac{2}{3}.
-\frac{2}{9}y+\frac{1}{6}=-\frac{3}{2}
הוסף את -\frac{y}{18} ל- -\frac{y}{6}.
-\frac{2}{9}y=-\frac{5}{3}
החסר \frac{1}{6} משני אגפי המשוואה.
y=\frac{15}{2}
חלק את שני אגפי המשוואה ב- -\frac{2}{9}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.
x=-\frac{2}{9}\times \frac{15}{2}+\frac{2}{3}
השתמש ב- \frac{15}{2} במקום y ב- x=-\frac{2}{9}y+\frac{2}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
x=\frac{-5+2}{3}
הכפל את -\frac{2}{9} ב- \frac{15}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.
x=-1
הוסף את \frac{2}{3} ל- -\frac{5}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.
x=-1,y=\frac{15}{2}
המערכת נפתרה כעת.
\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}
העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.
\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)
כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.
inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)
הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)
המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}}\\-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)
עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\\frac{3}{4}&-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1-3}{2}\\\frac{3}{4}-\frac{9}{2}\left(-\frac{3}{2}\right)\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\\frac{15}{2}\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
x=-1,y=\frac{15}{2}
חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.
\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}
כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.
\frac{1}{4}\times \frac{3}{2}x+\frac{1}{4}\times \frac{1}{3}y=\frac{1}{4},\frac{3}{2}\times \frac{1}{4}x+\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)y=\frac{3}{2}\left(-\frac{3}{2}\right)
כדי להפוך את \frac{3x}{2} ו- \frac{x}{4} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- \frac{1}{4} ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- \frac{3}{2}.
\frac{3}{8}x+\frac{1}{12}y=\frac{1}{4},\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}y=-\frac{9}{4}
פשט.
\frac{3}{8}x-\frac{3}{8}x+\frac{1}{12}y+\frac{1}{4}y=\frac{1+9}{4}
החסר את \frac{3}{8}x-\frac{1}{4}y=-\frac{9}{4} מ- \frac{3}{8}x+\frac{1}{12}y=\frac{1}{4} על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.
\frac{1}{12}y+\frac{1}{4}y=\frac{1+9}{4}
הוסף את \frac{3x}{8} ל- -\frac{3x}{8}. האיברים \frac{3x}{8} ו- -\frac{3x}{8} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.
\frac{1}{3}y=\frac{1+9}{4}
הוסף את \frac{y}{12} ל- \frac{y}{4}.
\frac{1}{3}y=\frac{5}{2}
הוסף את \frac{1}{4} ל- \frac{9}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.
y=\frac{15}{2}
הכפל את שני האגפים ב- 3.
\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}\times \frac{15}{2}=-\frac{3}{2}
השתמש ב- \frac{15}{2} במקום y ב- \frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}=-\frac{3}{2}
הכפל את -\frac{1}{6} ב- \frac{15}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.
\frac{1}{4}x=-\frac{1}{4}
הוסף \frac{5}{4} לשני אגפי המשוואה.
x=-1
הכפל את שני האגפים ב- 4.
x=-1,y=\frac{15}{2}
המערכת נפתרה כעת.
דוגמאות
משוואה ממעלה שנייה
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
טריגונומטריה
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
משוואה לינארית
y = 3x + 4
אריתמטיקה
699 * 533
מטריצה
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
משוואה בו-זמנית
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
גזירה
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
אינטגרציה
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
גבולות
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}