פתור את {l}{1/5x-2y=10}{3x-3/2y=36}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 5 } x - 2 y = 10 } \\ { 3 x - \frac { 3 } { 2 } y = 36 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=10$$

$$y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$\frac{1}{5}x-2y=10,3x-\frac{3}{2}y=36$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\frac{1}{5}x-2y=10$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{5}x=2y+10$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=5\left(2y+10\right)$$

הכפל את ‎5 ב- ‎10+2y.

$$x=10y+50$$

השתמש ב- ‎50+10y במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-\frac{3}{2}y=36.

$$3\left(10y+50\right)-\frac{3}{2}y=36$$

הכפל את ‎3 ב- ‎50+10y.

$$30y+150-\frac{3}{2}y=36$$

הוסף את ‎30y ל- ‎-\frac{3y}{2}.

$$\frac{57}{2}y+150=36$$

החסר ‎150 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{57}{2}y=-114$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{57}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-4$$

השתמש ב- ‎-4 במקום y ב- ‎x=10y+50. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=10\left(-4\right)+50$$

הכפל את ‎10 ב- ‎-4.

$$x=-40+50$$

הוסף את ‎50 ל- ‎-40.

$$x=10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=10,y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$\frac{1}{5}x-2y=10,3x-\frac{3}{2}y=36$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{19}&\frac{20}{57}\\-\frac{10}{19}&\frac{2}{57}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{19}\times 10+\frac{20}{57}\times 36\\-\frac{10}{19}\times 10+\frac{2}{57}\times 36\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=10,y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$\frac{1}{5}x-2y=10,3x-\frac{3}{2}y=36$$

כדי להפוך את ‎\frac{x}{5} ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎\frac{1}{5}.

$$3\times \frac{1}{5}x+3\left(-2\right)y=3\times 10,\frac{1}{5}\times 3x+\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}\right)y=\frac{1}{5}\times 36$$

פשט.

$$\frac{3}{5}x-6y=30,\frac{3}{5}x-\frac{3}{10}y=\frac{36}{5}$$

החסר את ‎\frac{3}{5}x-\frac{3}{10}y=\frac{36}{5} מ- ‎\frac{3}{5}x-6y=30 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$\frac{3}{5}x-\frac{3}{5}x-6y+\frac{3}{10}y=30-\frac{36}{5}$$

הוסף את ‎\frac{3x}{5} ל- ‎-\frac{3x}{5}. האיברים ‎\frac{3x}{5} ו- ‎-\frac{3x}{5} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-6y+\frac{3}{10}y=30-\frac{36}{5}$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎\frac{3y}{10}.

$$-\frac{57}{10}y=30-\frac{36}{5}$$

הוסף את ‎30 ל- ‎-\frac{36}{5}.

$$-\frac{57}{10}y=\frac{114}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{57}{10}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-4$$

השתמש ב- ‎-4 במקום y ב- ‎3x-\frac{3}{2}y=36. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-\frac{3}{2}\left(-4\right)=36$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎-4.

$$3x+6=36$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$3x=30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=10,y=-4$$