פתור את {c}{x-2y=9}{3x+4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { c } { x - 2 y = 9 } \\ { 3 x + 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=5$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-2y=9,3x+4y=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-2y=9$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$x=2y+9$$

השתמש ב- ‎2y+9 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+4y=7.

$$3\left(2y+9\right)+4y=7$$

הכפל את ‎3 ב- ‎2y+9.

$$6y+27+4y=7$$

הוסף את ‎6y ל- ‎4y.

$$10y+27=7$$

החסר ‎27 משני אגפי המשוואה.

$$10y=-20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=2y+9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=2\left(-2\right)+9$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-2.

$$x=-4+9$$

הוסף את ‎9 ל- ‎-4.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-2y=9,3x+4y=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 9+\frac{1}{5}\times 7\\-\frac{3}{10}\times 9+\frac{1}{10}\times 7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=5,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-2y=9,3x+4y=7$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$3x+3\left(-2\right)y=3\times 9,3x+4y=7$$

פשט.

$$3x-6y=27,3x+4y=7$$

החסר את ‎3x+4y=7 מ- ‎3x-6y=27 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x-3x-6y-4y=27-7$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-3x. האיברים ‎3x ו- ‎-3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-6y-4y=27-7$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎-4y.

$$-10y=27-7$$

הוסף את ‎27 ל- ‎-7.

$$-10y=20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-10.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎3x+4y=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+4\left(-2\right)=7$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-2.

$$3x-8=7$$

הוסף ‎8 לשני אגפי המשוואה.

$$3x=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=-2$$