פתור את {c}{3y-9=4x-4y+5}{5y-3=-(x+2)+1+2y}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 3 y - 9 = 4 x - 4 y + 5 } \\ { 5 y - 3 = - ( x + 2 ) + 1 + 2 y } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x = -\frac{28}{19} = -1\frac{9}{19} \approx -1.473684211$$

$$y = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎4x משני האגפים.

$$3y-9-4x=-4y+5$$

הוסף ‎4y משני הצדדים.

$$3y-9-4x+4y=5$$

כנס את ‎3y ו- ‎4y כדי לקבל ‎7y.

$$7y-9-4x=5$$

הוסף ‎9 משני הצדדים.

$$7y-4x=5+9$$

חבר את ‎5 ו- ‎9 כדי לקבל ‎14.

$$7y-4x=14$$

שקול את המשוואה השניה. כדי למצוא את ההופכי של ‎x+2, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$5y-3=-x-2+1+2y$$

חבר את ‎-2 ו- ‎1 כדי לקבל ‎-1.

$$5y-3=-x-1+2y$$

הוסף ‎x משני הצדדים.

$$5y-3+x=-1+2y$$

החסר ‎2y משני האגפים.

$$5y-3+x-2y=-1$$

כנס את ‎5y ו- ‎-2y כדי לקבל ‎3y.

$$3y-3+x=-1$$

הוסף ‎3 משני הצדדים.

$$3y+x=-1+3$$

חבר את ‎-1 ו- ‎3 כדי לקבל ‎2.

$$3y+x=2$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$7y-4x=14,3y+x=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$7y-4x=14$$

הוסף ‎4x לשני אגפי המשוואה.

$$7y=4x+14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$y=\frac{1}{7}\left(4x+14\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{7} ב- ‎4x+14.

$$y=\frac{4}{7}x+2$$

השתמש ב- ‎\frac{4x}{7}+2 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎3y+x=2.

$$3\left(\frac{4}{7}x+2\right)+x=2$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{4x}{7}+2.

$$\frac{12}{7}x+6+x=2$$

הוסף את ‎\frac{12x}{7} ל- ‎x.

$$\frac{19}{7}x+6=2$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{19}{7}x=-4$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{19}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=-\frac{28}{19}$$

השתמש ב- ‎-\frac{28}{19} במקום x ב- ‎y=\frac{4}{7}x+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=\frac{4}{7}\left(-\frac{28}{19}\right)+2$$

הכפל את ‎\frac{4}{7} ב- ‎-\frac{28}{19} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=-\frac{16}{19}+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎-\frac{16}{19}.

$$y=\frac{22}{19}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{28}{19}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎4x משני האגפים.

$$3y-9-4x=-4y+5$$

הוסף ‎4y משני הצדדים.

$$3y-9-4x+4y=5$$

כנס את ‎3y ו- ‎4y כדי לקבל ‎7y.

$$7y-9-4x=5$$

הוסף ‎9 משני הצדדים.

$$7y-4x=5+9$$

חבר את ‎5 ו- ‎9 כדי לקבל ‎14.

$$7y-4x=14$$

שקול את המשוואה השניה. כדי למצוא את ההופכי של ‎x+2, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$5y-3=-x-2+1+2y$$

חבר את ‎-2 ו- ‎1 כדי לקבל ‎-1.

$$5y-3=-x-1+2y$$

הוסף ‎x משני הצדדים.

$$5y-3+x=-1+2y$$

החסר ‎2y משני האגפים.

$$5y-3+x-2y=-1$$

כנס את ‎5y ו- ‎-2y כדי לקבל ‎3y.

$$3y-3+x=-1$$

הוסף ‎3 משני הצדדים.

$$3y+x=-1+3$$

חבר את ‎-1 ו- ‎3 כדי לקבל ‎2.

$$3y+x=2$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$7y-4x=14,3y+x=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{7-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{7-\left(-4\times 3\right)}&\frac{7}{7-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&\frac{4}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{7}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\times 14+\frac{4}{19}\times 2\\-\frac{3}{19}\times 14+\frac{7}{19}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\-\frac{28}{19}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{28}{19}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎4x משני האגפים.

$$3y-9-4x=-4y+5$$

הוסף ‎4y משני הצדדים.

$$3y-9-4x+4y=5$$

כנס את ‎3y ו- ‎4y כדי לקבל ‎7y.

$$7y-9-4x=5$$

הוסף ‎9 משני הצדדים.

$$7y-4x=5+9$$

חבר את ‎5 ו- ‎9 כדי לקבל ‎14.

$$7y-4x=14$$

שקול את המשוואה השניה. כדי למצוא את ההופכי של ‎x+2, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$5y-3=-x-2+1+2y$$

חבר את ‎-2 ו- ‎1 כדי לקבל ‎-1.

$$5y-3=-x-1+2y$$

הוסף ‎x משני הצדדים.

$$5y-3+x=-1+2y$$

החסר ‎2y משני האגפים.

$$5y-3+x-2y=-1$$

כנס את ‎5y ו- ‎-2y כדי לקבל ‎3y.

$$3y-3+x=-1$$

הוסף ‎3 משני הצדדים.

$$3y+x=-1+3$$

חבר את ‎-1 ו- ‎3 כדי לקבל ‎2.

$$3y+x=2$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$7y-4x=14,3y+x=2$$

כדי להפוך את ‎7y ו- ‎3y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎7.

$$3\times 7y+3\left(-4\right)x=3\times 14,7\times 3y+7x=7\times 2$$

פשט.

$$21y-12x=42,21y+7x=14$$

החסר את ‎21y+7x=14 מ- ‎21y-12x=42 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$21y-21y-12x-7x=42-14$$

הוסף את ‎21y ל- ‎-21y. האיברים ‎21y ו- ‎-21y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-12x-7x=42-14$$

הוסף את ‎-12x ל- ‎-7x.

$$-19x=42-14$$

הוסף את ‎42 ל- ‎-14.

$$-19x=28$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-19.

$$x=-\frac{28}{19}$$

השתמש ב- ‎-\frac{28}{19} במקום x ב- ‎3y+x=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$3y-\frac{28}{19}=2$$

הוסף ‎\frac{28}{19} לשני אגפי המשוואה.

$$3y=\frac{66}{19}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=\frac{22}{19}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{28}{19}$$