פתור את {c}{-2a+2b=2}{3a-2b=2}

$$\left\{ \begin{array} { c } { - 2 a + 2 b = 2 } \\ { 3 a - 2 b = 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a=4$$

$$b=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-2a+2b=2,3a-2b=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-2a+2b=2$$

החסר ‎2b משני אגפי המשוואה.

$$-2a=-2b+2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$a=-\frac{1}{2}\left(-2b+2\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎-2b+2.

$$a=b-1$$

השתמש ב- ‎b-1 במקום ‎a במשוואה השניה, ‎3a-2b=2.

$$3\left(b-1\right)-2b=2$$

הכפל את ‎3 ב- ‎b-1.

$$3b-3-2b=2$$

הוסף את ‎3b ל- ‎-2b.

$$b-3=2$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$b=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום b ב- ‎a=b-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=5-1$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎5.

$$a=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=4,b=5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-2a+2b=2,3a-2b=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-2\times 3}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{-2\left(-2\right)-2\times 3}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2+2\\\frac{3}{2}\times 2+2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=4,b=5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-2a+2b=2,3a-2b=2$$

כדי להפוך את ‎-2a ו- ‎3a לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-2.

$$3\left(-2\right)a+3\times 2b=3\times 2,-2\times 3a-2\left(-2\right)b=-2\times 2$$

פשט.

$$-6a+6b=6,-6a+4b=-4$$

החסר את ‎-6a+4b=-4 מ- ‎-6a+6b=6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-6a+6a+6b-4b=6+4$$

הוסף את ‎-6a ל- ‎6a. האיברים ‎-6a ו- ‎6a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6b-4b=6+4$$

הוסף את ‎6b ל- ‎-4b.

$$2b=6+4$$

הוסף את ‎6 ל- ‎4.

$$2b=10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$b=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום b ב- ‎3a-2b=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$3a-2\times 5=2$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎5.

$$3a-10=2$$

הוסף ‎10 לשני אגפי המשוואה.

$$3a=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$a=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=4,b=5$$