\left\{ \begin{array} { c } { \frac { 3 - 2 y } { 4 } - \frac { 1 } { 4 } = \frac { 1 - 2 x } { 6 } } \\ { \frac { 25 } { 8 } - 1 = \frac { x + 3 } { 2 } - \frac { 3 ( 1 + y ) } { 8 } } \end{array} \right.
פתור עבור y, x
x=5
y=4
גרף
שתף
הועתק ללוח
3\left(3-2y\right)-3=2\left(1-2x\right)
שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 4,6.
9-6y-3=2\left(1-2x\right)
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 3-2y.
6-6y=2\left(1-2x\right)
החסר את 3 מ- 9 כדי לקבל 6.
6-6y=2-4x
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- 1-2x.
6-6y+4x=2
הוסף 4x משני הצדדים.
-6y+4x=2-6
החסר 6 משני האגפים.
-6y+4x=-4
החסר את 6 מ- 2 כדי לקבל -4.
25-8=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)
שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 8, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 8,2.
17=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)
החסר את 8 מ- 25 כדי לקבל 17.
17=4x+12-3\left(1+y\right)
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- x+3.
17=4x+12-3-3y
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -3 ב- 1+y.
17=4x+9-3y
החסר את 3 מ- 12 כדי לקבל 9.
4x+9-3y=17
החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.
4x-3y=17-9
החסר 9 משני האגפים.
4x-3y=8
החסר את 9 מ- 17 כדי לקבל 8.
-6y+4x=-4,-3y+4x=8
כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.
-6y+4x=-4
בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.
-6y=-4x-4
החסר 4x משני אגפי המשוואה.
y=-\frac{1}{6}\left(-4x-4\right)
חלק את שני האגפים ב- -6.
y=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}
הכפל את -\frac{1}{6} ב- -4x-4.
-3\left(\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}\right)+4x=8
השתמש ב- \frac{2+2x}{3} במקום y במשוואה השניה, -3y+4x=8.
-2x-2+4x=8
הכפל את -3 ב- \frac{2+2x}{3}.
2x-2=8
הוסף את -2x ל- 4x.
2x=10
הוסף 2 לשני אגפי המשוואה.
x=5
חלק את שני האגפים ב- 2.
y=\frac{2}{3}\times 5+\frac{2}{3}
השתמש ב- 5 במקום x ב- y=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.
y=\frac{10+2}{3}
הכפל את \frac{2}{3} ב- 5.
y=4
הוסף את \frac{2}{3} ל- \frac{10}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.
y=4,x=5
המערכת נפתרה כעת.
3\left(3-2y\right)-3=2\left(1-2x\right)
שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 4,6.
9-6y-3=2\left(1-2x\right)
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 3-2y.
6-6y=2\left(1-2x\right)
החסר את 3 מ- 9 כדי לקבל 6.
6-6y=2-4x
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- 1-2x.
6-6y+4x=2
הוסף 4x משני הצדדים.
-6y+4x=2-6
החסר 6 משני האגפים.
-6y+4x=-4
החסר את 6 מ- 2 כדי לקבל -4.
25-8=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)
שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 8, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 8,2.
17=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)
החסר את 8 מ- 25 כדי לקבל 17.
17=4x+12-3\left(1+y\right)
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- x+3.
17=4x+12-3-3y
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -3 ב- 1+y.
17=4x+9-3y
החסר את 3 מ- 12 כדי לקבל 9.
4x+9-3y=17
החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.
4x-3y=17-9
החסר 9 משני האגפים.
4x-3y=8
החסר את 9 מ- 17 כדי לקבל 8.
-6y+4x=-4,-3y+4x=8
העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.
\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)
כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.
inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)
הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)
המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-6\times 4-4\left(-3\right)}&-\frac{4}{-6\times 4-4\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-6\times 4-4\left(-3\right)}&-\frac{6}{-6\times 4-4\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)
עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{1}{3}\times 8\\-\frac{1}{4}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\times 8\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
y=4,x=5
חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.
3\left(3-2y\right)-3=2\left(1-2x\right)
שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 4,6.
9-6y-3=2\left(1-2x\right)
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 3-2y.
6-6y=2\left(1-2x\right)
החסר את 3 מ- 9 כדי לקבל 6.
6-6y=2-4x
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- 1-2x.
6-6y+4x=2
הוסף 4x משני הצדדים.
-6y+4x=2-6
החסר 6 משני האגפים.
-6y+4x=-4
החסר את 6 מ- 2 כדי לקבל -4.
25-8=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)
שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 8, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 8,2.
17=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)
החסר את 8 מ- 25 כדי לקבל 17.
17=4x+12-3\left(1+y\right)
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- x+3.
17=4x+12-3-3y
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -3 ב- 1+y.
17=4x+9-3y
החסר את 3 מ- 12 כדי לקבל 9.
4x+9-3y=17
החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.
4x-3y=17-9
החסר 9 משני האגפים.
4x-3y=8
החסר את 9 מ- 17 כדי לקבל 8.
-6y+4x=-4,-3y+4x=8
כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.
-6y+3y+4x-4x=-4-8
החסר את -3y+4x=8 מ- -6y+4x=-4 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.
-6y+3y=-4-8
הוסף את 4x ל- -4x. האיברים 4x ו- -4x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.
-3y=-4-8
הוסף את -6y ל- 3y.
-3y=-12
הוסף את -4 ל- -8.
y=4
חלק את שני האגפים ב- -3.
-3\times 4+4x=8
השתמש ב- 4 במקום y ב- -3y+4x=8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
-12+4x=8
הכפל את -3 ב- 4.
4x=20
הוסף 12 לשני אגפי המשוואה.
x=5
חלק את שני האגפים ב- 4.
y=4,x=5
המערכת נפתרה כעת.
דוגמאות
משוואה ממעלה שנייה
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
טריגונומטריה
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
משוואה לינארית
y = 3x + 4
אריתמטיקה
699 * 533
מטריצה
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
משוואה בו-זמנית
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
גזירה
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
אינטגרציה
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
גבולות
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}