פתור את ∫ x*(2x+1)^2 wrt x

$$\int x \cdot ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } d x$$

הערך

$$x^{4}+\frac{4x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+С$$

שלבי פתרון

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(2x+1\right)^{2}.

$$\int x\left(4x^{2}+4x+1\right)\mathrm{d}x$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x ב- 4x^{2}+4x+1.

$$\int 4x^{3}+4x^{2}+x\mathrm{d}x$$

אינטגרל את המונח סכום לפי מונח.

$$\int 4x^{3}\mathrm{d}x+\int 4x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

הוצא גורם משותף מהקבוע בכל אחד מהאיברים.

$$4\int x^{3}\mathrm{d}x+4\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x^{3}\mathrm{d}x ב\frac{x^{4}}{4}. הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{x^{4}}{4}.

$$x^{4}+4\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x^{2}\mathrm{d}x ב\frac{x^{3}}{3}. הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{x^{3}}{3}.

$$x^{4}+\frac{4x^{3}}{3}+\int x\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x\mathrm{d}x ב\frac{x^{2}}{2}.

$$x^{4}+\frac{4x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}$$

פשט.

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{4x^{3}}{3}+x^{4}$$

אם F\left(x\right) הוא אנטי-נגזרת של f\left(x\right), ולאחר מכן הערכה של כל antiderivatives של f\left(x\right) ניתנת על-ידי F\left(x\right)+C. לכן, הוסף את הקבוע של שילוב C\in \mathrm{R} לתוצאה.

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{4x^{3}}{3}+x^{4}+С$$

גזור ביחס ל- ‎x

$$x\left(2x+1\right)^{2}$$