פתור את ∫ (from 1 to 5) of (15t^3-135t^2+225t)dt=

$$\int _ { 1 } ^ { 5 } ( 15 t ^ { 3 } - 135 t ^ { 2 } + 225 t ) d t =$$

הערך

$$-540$$

שלבי פתרון

הערך את האינטגרל הבלתי מוגדר תחילה.

$$\int 15t^{3}-135t^{2}+225t\mathrm{d}t$$

אינטגרל את המונח סכום לפי מונח.

$$\int 15t^{3}\mathrm{d}t+\int -135t^{2}\mathrm{d}t+\int 225t\mathrm{d}t$$

הוצא גורם משותף מהקבוע בכל אחד מהאיברים.

$$15\int t^{3}\mathrm{d}t-135\int t^{2}\mathrm{d}t+225\int t\mathrm{d}t$$

מאז \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int t^{3}\mathrm{d}t ב\frac{t^{4}}{4}. הכפל את ‎15 ב- ‎\frac{t^{4}}{4}.

$$\frac{15t^{4}}{4}-135\int t^{2}\mathrm{d}t+225\int t\mathrm{d}t$$

מאז \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int t^{2}\mathrm{d}t ב\frac{t^{3}}{3}. הכפל את ‎-135 ב- ‎\frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{15t^{4}}{4}-45t^{3}+225\int t\mathrm{d}t$$

מאז \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int t\mathrm{d}t ב\frac{t^{2}}{2}. הכפל את ‎225 ב- ‎\frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{15t^{4}}{4}-45t^{3}+\frac{225t^{2}}{2}$$

האינטגרל המסוים הוא האנטי-נגזרת של הביטוי המוערך בגבול העליון של האינטגרציה פחות האנטי-נגזרת המוערכת בגבול התחתון של האינטגרציה.

$$\frac{15}{4}\times 5^{4}-45\times 5^{3}+\frac{225}{2}\times 5^{2}-\left(\frac{15}{4}\times 1^{4}-45\times 1^{3}+\frac{225}{2}\times 1^{2}\right)$$

פשט.

$$-540$$