פתור את ∫ (from 1 to 27) of 2pix(27x^3) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 27 } 2 \pi x ( 27 x ^ { 3 } ) d x$$

הערך

$$\frac{774840924\pi }{5}\approx 486846910.90782547$$

שלבי פתרון

כדי להכפיל חזקות בעלות אותו בסיס, חבר את המעריכים שלהן. חבר את ‎1 ו- ‎3 כדי לקבל ‎4.

$$\int _{1}^{27}2\pi x^{4}\times 27\mathrm{d}x$$

הכפל את ‎2 ו- ‎27 כדי לקבל ‎54.

$$\int _{1}^{27}54\pi x^{4}\mathrm{d}x$$

הערך את האינטגרל הבלתי מוגדר תחילה.

$$\int 54\pi x^{4}\mathrm{d}x$$

הוצא גורם משותף מקבוע באמצעות \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x.

$$54\pi \int x^{4}\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x^{4}\mathrm{d}x ב\frac{x^{5}}{5}.

$$54\pi \times \frac{x^{5}}{5}$$

פשט.

$$\frac{54\pi x^{5}}{5}$$

האינטגרל המסוים הוא האנטי-נגזרת של הביטוי המוערך בגבול העליון של האינטגרציה פחות האנטי-נגזרת המוערכת בגבול התחתון של האינטגרציה.

$$\frac{54}{5}\pi \times 27^{5}-\frac{54}{5}\pi \times 1^{5}$$

פשט.

$$\frac{774840924\pi }{5}$$