פתור את ∫ (from 0 to 2) of x(x^2-3)^2 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 2 } x ( x ^ { 2 } - 3 ) ^ { 2 } d x$$

הערך

$$\frac{14}{3}\approx 4.666666667$$

שלבי פתרון

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x^{2}-3\right)^{2}.

$$\int _{0}^{2}x\left(\left(x^{2}\right)^{2}-6x^{2}+9\right)\mathrm{d}x$$

כדי להעלות חזקה בחזקה אחרת, הכפל את המעריכים. הכפל את ‎2 ו- 2‎ כדי לקבל ‎4.

$$\int _{0}^{2}x\left(x^{4}-6x^{2}+9\right)\mathrm{d}x$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x ב- x^{4}-6x^{2}+9.

$$\int _{0}^{2}x^{5}-6x^{3}+9x\mathrm{d}x$$

הערך את האינטגרל הבלתי מוגדר תחילה.

$$\int x^{5}-6x^{3}+9x\mathrm{d}x$$

אינטגרל את המונח סכום לפי מונח.

$$\int x^{5}\mathrm{d}x+\int -6x^{3}\mathrm{d}x+\int 9x\mathrm{d}x$$

הוצא גורם משותף מהקבוע בכל אחד מהאיברים.

$$\int x^{5}\mathrm{d}x-6\int x^{3}\mathrm{d}x+9\int x\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x^{5}\mathrm{d}x ב\frac{x^{6}}{6}.

$$\frac{x^{6}}{6}-6\int x^{3}\mathrm{d}x+9\int x\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x^{3}\mathrm{d}x ב\frac{x^{4}}{4}. הכפל את ‎-6 ב- ‎\frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{6}}{6}-\frac{3x^{4}}{2}+9\int x\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x\mathrm{d}x ב\frac{x^{2}}{2}. הכפל את ‎9 ב- ‎\frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{6}}{6}-\frac{3x^{4}}{2}+\frac{9x^{2}}{2}$$

פשט.

$$\frac{9x^{2}}{2}-\frac{3x^{4}}{2}+\frac{x^{6}}{6}$$

האינטגרל המסוים הוא האנטי-נגזרת של הביטוי המוערך בגבול העליון של האינטגרציה פחות האנטי-נגזרת המוערכת בגבול התחתון של האינטגרציה.

$$\frac{9}{2}\times 2^{2}-\frac{3}{2}\times 2^{4}+\frac{2^{6}}{6}-\left(\frac{9}{2}\times 0^{2}-\frac{3}{2}\times 0^{4}+\frac{0^{6}}{6}\right)$$

פשט.

$$\frac{14}{3}$$