פתור את ∫ (from 0 to frac { 1) of {2}}(2x-1)^2 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } d x$$

הערך

$$\frac{1}{6}\approx 0.166666667$$

שלבי פתרון

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(2x-1\right)^{2}.

$$\int _{0}^{\frac{1}{2}}4x^{2}-4x+1\mathrm{d}x$$

הערך את האינטגרל הבלתי מוגדר תחילה.

$$\int 4x^{2}-4x+1\mathrm{d}x$$

אינטגרל את המונח סכום לפי מונח.

$$\int 4x^{2}\mathrm{d}x+\int -4x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

הוצא גורם משותף מהקבוע בכל אחד מהאיברים.

$$4\int x^{2}\mathrm{d}x-4\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x^{2}\mathrm{d}x ב\frac{x^{3}}{3}. הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{4x^{3}}{3}-4\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

מאז \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} לk\neq -1, החלף \int x\mathrm{d}x ב\frac{x^{2}}{2}. הכפל את ‎-4 ב- ‎\frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{4x^{3}}{3}-2x^{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

מצא את אינטגרל ה1 באמצעות רשימת הכללים האינטגרליםת של כלל \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{4x^{3}}{3}-2x^{2}+x$$

האינטגרל המסוים הוא האנטי-נגזרת של הביטוי המוערך בגבול העליון של האינטגרציה פחות האנטי-נגזרת המוערכת בגבול התחתון של האינטגרציה.

$$\frac{4}{3}\times \left(\frac{1}{2}\right)^{3}-2\times \left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{2}-\left(\frac{4}{3}\times 0^{3}-2\times 0^{2}+0\right)$$

פשט.

$$\frac{1}{6}$$