פתור את 1/left(cos(10)right)^2+1/left(sin(20)right)^2+1/left(sin(40)right)^2-1/left(cos(45)right)^2

$$\frac{ 1 }{ { \left( \cos ( 10 ) \right) }^{ 2 } } + \frac{ 1 }{ { \left( \sin ( 20 ) \right) }^{ 2 } } + \frac{ 1 }{ { \left( \sin ( 40 ) \right) }^{ 2 } } - \frac{ 1 }{ { \left( \cos ( 45 ) \right) }^{ 2 } }$$

הערך

$$\frac{18310546874999996369796781576184030509627698762784584447936053315862248746293853208975610622}{1831054687499999275459650440445924482292360454397237565908225844022000626853073395512194689}\approx 10$$

שלבי פתרון

Evaluate trigonometric functions in the problem

$$\frac{1}{0.984807753012208 ^ {2}} + \frac{1}{0.3420201433256687 ^ {2}} + \frac{1}{0.6427876096865393 ^ {2}} - \frac{1}{{(\cos^{2}(45))}}$$

חשב את 0.984807753012208 בחזקת 2 וקבל 0.969846310392954075097397035264.

$$\frac{1}{0.969846310392954075097397035264}+\frac{1}{0.3420201433256687^{2}}+\frac{1}{0.6427876096865393^{2}}-\frac{1}{\left(\cos(45)\right)^{2}}$$

הרחב את ‎\frac{1}{0.969846310392954075097397035264} על-ידי הכפלת המונה והמכנה ב- 1000000000000000000000000000000.

$$\frac{1000000000000000000000000000000}{969846310392954075097397035264}+\frac{1}{0.3420201433256687^{2}}+\frac{1}{0.6427876096865393^{2}}-\frac{1}{\left(\cos(45)\right)^{2}}$$

צמצם את השבר ‎\frac{1000000000000000000000000000000}{969846310392954075097397035264} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 256.

$$\frac{3906250000000000000000000000}{3788462149972476855849207169}+\frac{1}{0.3420201433256687^{2}}+\frac{1}{0.6427876096865393^{2}}-\frac{1}{\left(\cos(45)\right)^{2}}$$

חשב את 0.3420201433256687 בחזקת 2 וקבל 0.11697777844051095979530830215969.

$$\frac{3906250000000000000000000000}{3788462149972476855849207169}+\frac{1}{0.11697777844051095979530830215969}+\frac{1}{0.6427876096865393^{2}}-\frac{1}{\left(\cos(45)\right)^{2}}$$

הרחב את ‎\frac{1}{0.11697777844051095979530830215969} על-ידי הכפלת המונה והמכנה ב- 100000000000000000000000000000000.

$$\frac{3906250000000000000000000000}{3788462149972476855849207169}+\frac{100000000000000000000000000000000}{11697777844051095979530830215969}+\frac{1}{0.6427876096865393^{2}}-\frac{1}{\left(\cos(45)\right)^{2}}$$

חבר את ‎\frac{3906250000000000000000000000}{3788462149972476855849207169} ו- ‎\frac{100000000000000000000000000000000}{11697777844051095979530830215969} כדי לקבל ‎\frac{424540659700572279254963022431128906250000000000000000000000}{44316588600974220158623956135758892709470162173417693081761}.

$$\frac{424540659700572279254963022431128906250000000000000000000000}{44316588600974220158623956135758892709470162173417693081761}+\frac{1}{0.6427876096865393^{2}}-\frac{1}{\left(\cos(45)\right)^{2}}$$

חשב את 0.6427876096865393 בחזקת 2 וקבל 0.41317591116653479173440361044449.

$$\frac{424540659700572279254963022431128906250000000000000000000000}{44316588600974220158623956135758892709470162173417693081761}+\frac{1}{0.41317591116653479173440361044449}-\frac{1}{\left(\cos(45)\right)^{2}}$$

הרחב את ‎\frac{1}{0.41317591116653479173440361044449} על-ידי הכפלת המונה והמכנה ב- 100000000000000000000000000000000.

$$\frac{424540659700572279254963022431128906250000000000000000000000}{44316588600974220158623956135758892709470162173417693081761}+\frac{100000000000000000000000000000000}{41317591116653479173440361044449}-\frac{1}{\left(\cos(45)\right)^{2}}$$

חבר את ‎\frac{424540659700572279254963022431128906250000000000000000000000}{44316588600974220158623956135758892709470162173417693081761} ו- ‎\frac{100000000000000000000000000000000}{41317591116653479173440361044449} כדי לקבל ‎\frac{21972656249999994920716082457075879474212419671579059579752505003906250000000000000000000000}{1831054687499999275459650440445924482292360454397237565908225844022000626853073395512194689}.

$$\frac{21972656249999994920716082457075879474212419671579059579752505003906250000000000000000000000}{1831054687499999275459650440445924482292360454397237565908225844022000626853073395512194689}-\frac{1}{\left(\cos(45)\right)^{2}}$$

קבל את הערך של \cos(45) מטבלה של ערכים טריגונומטריים.

$$\frac{21972656249999994920716082457075879474212419671579059579752505003906250000000000000000000000}{1831054687499999275459650440445924482292360454397237565908225844022000626853073395512194689}-\frac{1}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}$$

כדי להעלות את \frac{\sqrt{2}}{2} בחזקה, העלה גם המונה וגם את המכנה בחזקה ולאחר מכן בצע חילוק.

$$\frac{21972656249999994920716082457075879474212419671579059579752505003906250000000000000000000000}{1831054687499999275459650440445924482292360454397237565908225844022000626853073395512194689}-\frac{1}{\frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{2^{2}}}$$

חלק את ‎1 ב- ‎\frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{2^{2}} על-ידי הכפלת ‎1 בהופכי של ‎\frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{2^{2}}.

$$\frac{21972656249999994920716082457075879474212419671579059579752505003906250000000000000000000000}{1831054687499999275459650440445924482292360454397237565908225844022000626853073395512194689}-\frac{2^{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

חשב את 2 בחזקת 2 וקבל 4.

$$\frac{21972656249999994920716082457075879474212419671579059579752505003906250000000000000000000000}{1831054687499999275459650440445924482292360454397237565908225844022000626853073395512194689}-\frac{4}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

הריבוע של ‎\sqrt{2} הוא ‎2.

$$\frac{21972656249999994920716082457075879474212419671579059579752505003906250000000000000000000000}{1831054687499999275459650440445924482292360454397237565908225844022000626853073395512194689}-\frac{4}{2}$$

חלק את ‎4 ב- ‎2 כדי לקבל ‎2.

$$\frac{21972656249999994920716082457075879474212419671579059579752505003906250000000000000000000000}{1831054687499999275459650440445924482292360454397237565908225844022000626853073395512194689}-2$$

החסר את 2 מ- \frac{21972656249999994920716082457075879474212419671579059579752505003906250000000000000000000000}{1831054687499999275459650440445924482292360454397237565908225844022000626853073395512194689} כדי לקבל \frac{18310546874999996369796781576184030509627698762784584447936053315862248746293853208975610622}{1831054687499999275459650440445924482292360454397237565908225844022000626853073395512194689}.

$$\frac{18310546874999996369796781576184030509627698762784584447936053315862248746293853208975610622}{1831054687499999275459650440445924482292360454397237565908225844022000626853073395512194689}$$