פתור את -1/x-1+1/x+1=2/x+2

$$\frac{ -1 }{ x-1 } + \frac{ 1 }{ x+1 } = \frac{ 2 }{ x+2 }$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0.5-0.866025404i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0.5+0.866025404i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

המשתנה x אינו יכול להיות שווה לאף אחד מהערכים -2,-1,1 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של x-1,x+1,x+2.

$$\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(-1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x+1 ב- x+2 ולכנס איברים דומים.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\left(-1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x^{2}+3x+2 ב- -1.

$$-x^{2}-3x-2+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x-1 ב- x+2 ולכנס איברים דומים.

$$-x^{2}-3x-2+x^{2}+x-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

כנס את ‎-x^{2} ו- ‎x^{2} כדי לקבל ‎0.

$$-3x-2+x-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

כנס את ‎-3x ו- ‎x כדי לקבל ‎-2x.

$$-2x-2-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

החסר את 2 מ- -2 כדי לקבל -4.

$$-2x-4=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x^{2}-1 ב- 2.

$$-2x-4=2x^{2}-2$$

החסר ‎2x^{2} משני האגפים.

$$-2x-4-2x^{2}=-2$$

הוסף ‎2 משני הצדדים.

$$-2x-4-2x^{2}+2=0$$

חבר את ‎-4 ו- ‎2 כדי לקבל ‎-2.

$$-2x-2-2x^{2}=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-2x^{2}-2x-2=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -2 במקום a, ב- -2 במקום b, וב- -2 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

‎-2 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

הכפל את ‎8 ב- ‎-2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16}}{2\left(-2\right)}$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-12}}{2\left(-2\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של -12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}i}{2\left(-2\right)}$$

ההופכי של ‎-2 הוא ‎2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}i}{2\left(-2\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}i}{-4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{2±2\sqrt{3}i}{-4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎2 ל- ‎2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{3}i}{-4}$$

חלק את ‎2+2i\sqrt{3} ב- ‎-4.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{2±2\sqrt{3}i}{-4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2i\sqrt{3} מ- ‎2.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i+2}{-4}$$

חלק את ‎2-2i\sqrt{3} ב- ‎-4.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

המשתנה x אינו יכול להיות שווה לאף אחד מהערכים -2,-1,1 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של x-1,x+1,x+2.

$$\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(-1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x+1 ב- x+2 ולכנס איברים דומים.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\left(-1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x^{2}+3x+2 ב- -1.

$$-x^{2}-3x-2+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x-1 ב- x+2 ולכנס איברים דומים.

$$-x^{2}-3x-2+x^{2}+x-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

כנס את ‎-x^{2} ו- ‎x^{2} כדי לקבל ‎0.

$$-3x-2+x-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

כנס את ‎-3x ו- ‎x כדי לקבל ‎-2x.

$$-2x-2-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

החסר את 2 מ- -2 כדי לקבל -4.

$$-2x-4=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x^{2}-1 ב- 2.

$$-2x-4=2x^{2}-2$$

החסר ‎2x^{2} משני האגפים.

$$-2x-4-2x^{2}=-2$$

הוסף ‎4 משני הצדדים.

$$-2x-2x^{2}=-2+4$$

חבר את ‎-2 ו- ‎4 כדי לקבל ‎2.

$$-2x-2x^{2}=2$$

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}-2x=2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$\frac{-2x^{2}-2x}{-2}=\frac{2}{-2}$$

חילוק ב- ‎-2 מבטל את ההכפלה ב- ‎-2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-2}\right)x=\frac{2}{-2}$$

חלק את ‎-2 ב- ‎-2.

$$x^{2}+x=\frac{2}{-2}$$

חלק את ‎2 ב- ‎-2.

$$x^{2}+x=-1$$

חלק את ‎1, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{1}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{1}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎\frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

פרק x^{2}+x+\frac{1}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

פשט.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

החסר ‎\frac{1}{2} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$