פתור את 2/x+15/x+6=1

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 15 } { x + 6 } = 1$$

פתור עבור x

$$x=-1$$

$$x=12$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

המשתנה x אינו יכול להיות שווה לאף אחד מהערכים -6,0 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- x\left(x+6\right), הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x+6 ב- 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

כנס את ‎2x ו- ‎x\times 15 כדי לקבל ‎17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x ב- x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

החסר ‎6x משני האגפים.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

כנס את ‎17x ו- ‎-6x כדי לקבל ‎11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

סדר מחדש את הפולינום כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית. מקם את האיברים לפי הסדר מהחזקה הגבוהה ביותר לנמוכה ביותר.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- -x^{2}+ax+bx+12. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=11 ab=-12=-12$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 11.

$$a=12 b=-1$$

שכתב את ‎-x^{2}+11x+12 כ- ‎\left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right)$$

הוצא את הגורם המשותף -x בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$-x\left(x-12\right)-\left(x-12\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-12 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-12\right)\left(-x-1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-12=0 ו- -x-1=0.

$$x=12 x=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

המשתנה x אינו יכול להיות שווה לאף אחד מהערכים -6,0 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- x\left(x+6\right), הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x+6 ב- 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

כנס את ‎2x ו- ‎x\times 15 כדי לקבל ‎17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x ב- x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

החסר ‎6x משני האגפים.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

כנס את ‎17x ו- ‎-6x כדי לקבל ‎11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -1 במקום a, ב- 11 במקום b, וב- 12 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

‎11 בריבוע.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+4\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎12.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-1\right)}$$

הוסף את ‎121 ל- ‎48.

$$x=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 169.

$$x=\frac{-11±13}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-11±13}{-2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-11±13}{-2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-11 ל- ‎13.

$$x=\frac{2}{-2}$$

חלק את ‎2 ב- ‎-2.

$$x=-1$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-11±13}{-2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎13 מ- ‎-11.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

חלק את ‎-24 ב- ‎-2.

$$x=12$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-1 x=12$$

שלבים להשלמת הריבוע

המשתנה x אינו יכול להיות שווה לאף אחד מהערכים -6,0 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- x\left(x+6\right), הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x+6 ב- 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

כנס את ‎2x ו- ‎x\times 15 כדי לקבל ‎17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x ב- x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

החסר ‎6x משני האגפים.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

כנס את ‎17x ו- ‎-6x כדי לקבל ‎11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

החסר ‎12 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$11x-x^{2}=-12$$

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+11x=-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$\frac{-x^{2}+11x}{-1}=-\frac{12}{-1}$$

חילוק ב- ‎-1 מבטל את ההכפלה ב- ‎-1.

$$x^{2}+\frac{11}{-1}x=-\frac{12}{-1}$$

חלק את ‎11 ב- ‎-1.

$$x^{2}-11x=-\frac{12}{-1}$$

חלק את ‎-12 ב- ‎-1.

$$x^{2}-11x=12$$

חלק את ‎-11, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{11}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{11}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=12+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{11}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=12+\frac{121}{4}$$

הוסף את ‎12 ל- ‎\frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{169}{4}$$

פרק x^{2}-11x+\frac{121}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

פשט.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{13}{2}$$

הוסף ‎\frac{11}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=12 x=-1$$