פתור את 1/n-1/n+1

$$\frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n + 1 }$$

הערך

$$\frac{1}{n\left(n+1\right)}$$

שלבי פתרון קצר

כדי לחבר או להחסיר ביטויים, הרחב אותם כדי ליצור עבורם מכנה זהה. המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של ‎n ו- ‎n+1 היא n\left(n+1\right). הכפל את ‎\frac{1}{n} ב- ‎\frac{n+1}{n+1}. הכפל את ‎\frac{1}{n+1} ב- ‎\frac{n}{n}.

$$\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\left(n+1\right)}$$

מכיוון ש- \frac{n+1}{n\left(n+1\right)} ו- \frac{n}{n\left(n+1\right)} כוללים מכנה זהה, חסר אותם על-ידי חיסור המונים שלהם.

$$\frac{n+1-n}{n\left(n+1\right)}$$

כינוס איברים דומים ב- n+1-n.

$$\frac{1}{n\left(n+1\right)}$$

פיתוח ‎n\left(n+1\right).

$$\frac{1}{n^{2}+n}$$

גזור ביחס ל- ‎n

$$-\frac{2n+1}{\left(n\left(n+1\right)\right)^{2}}$$

שלבים הכוללים שימוש בכלל השרשרת

כדי לחבר או להחסיר ביטויים, הרחב אותם כדי ליצור עבורם מכנה זהה. המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של ‎n ו- ‎n+1 היא n\left(n+1\right). הכפל את ‎\frac{1}{n} ב- ‎\frac{n+1}{n+1}. הכפל את ‎\frac{1}{n+1} ב- ‎\frac{n}{n}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\left(n+1\right)})$$

מכיוון ש- \frac{n+1}{n\left(n+1\right)} ו- \frac{n}{n\left(n+1\right)} כוללים מכנה זהה, חסר אותם על-ידי חיסור המונים שלהם.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{n+1-n}{n\left(n+1\right)})$$

כינוס איברים דומים ב- n+1-n.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{1}{n\left(n+1\right)})$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את n ב- n+1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{1}{n^{2}+n})$$

אם F הוא הקומפוזיציה של שתי פונקציות גזירות, f\left(u\right) ו- u=g\left(x\right), כלומר, אם F\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right), אזי הנגזרת של F הוא הנגזרת של f ביחס ל- u כפול הנגזרת של g ביחס ל- x, כלומר, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(F)\left(x\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)\left(g\left(x\right)\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(g)\left(x\right).

$$-\left(n^{2}+n^{1}\right)^{-1-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(n^{2}+n^{1})$$

הנגזרת של פולינום היא סכום הנגזרות של האיברים שלו. הנגזרת של איבר קבוע היא 0. הנגזרת של ax^{n} היא nax^{n-1}.

$$-\left(n^{2}+n^{1}\right)^{-2}\left(2n^{2-1}+n^{1-1}\right)$$

פשט.

$$\left(n^{2}+n^{1}\right)^{-2}\left(-2n^{1}-n^{0}\right)$$

עבור כל איבר t,‏ t^{1}=t.

$$\left(n^{2}+n\right)^{-2}\left(-2n-n^{0}\right)$$

עבור כל איבר t מלבד 0,‏ t^{0}=1.

$$\left(n^{2}+n\right)^{-2}\left(-2n-1\right)$$