פתור את 1/2012*(1-1/2013)*(1-1/2014)*(1-1/2015)*(1-frac{1}{2016})*(1-frac{1}{2017})

$$\frac { 1 } { 2012 } \times ( 1 - \frac { 1 } { 2013 } ) \times ( 1 - \frac { 1 } { 2014 } ) \times ( 1 - \frac { 1 } { 2015 } ) \times ( 1 - \frac { 1 } { 2016 } ) \times ( 1 - \frac { 1 } { 2017 } )$$

הערך

$$\frac{1}{2017}\approx 0.000495786$$

שלבי פתרון

המר את ‎1 לשבר ‎\frac{2013}{2013}.

$$\frac{1}{2012}\left(\frac{2013}{2013}-\frac{1}{2013}\right)\left(1-\frac{1}{2014}\right)\left(1-\frac{1}{2015}\right)\left(1-\frac{1}{2016}\right)\left(1-\frac{1}{2017}\right)$$

מכיוון ש- \frac{2013}{2013} ו- \frac{1}{2013} כוללים מכנה זהה, חסר אותם על-ידי חיסור המונים שלהם.

$$\frac{1}{2012}\times \frac{2013-1}{2013}\left(1-\frac{1}{2014}\right)\left(1-\frac{1}{2015}\right)\left(1-\frac{1}{2016}\right)\left(1-\frac{1}{2017}\right)$$

החסר את 1 מ- 2013 כדי לקבל 2012.

$$\frac{1}{2012}\times \frac{2012}{2013}\left(1-\frac{1}{2014}\right)\left(1-\frac{1}{2015}\right)\left(1-\frac{1}{2016}\right)\left(1-\frac{1}{2017}\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2012} ב- ‎\frac{2012}{2013} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה.

$$\frac{1\times 2012}{2012\times 2013}\left(1-\frac{1}{2014}\right)\left(1-\frac{1}{2015}\right)\left(1-\frac{1}{2016}\right)\left(1-\frac{1}{2017}\right)$$

ביטול ‎2012 גם במונה וגם במכנה.

$$\frac{1}{2013}\left(1-\frac{1}{2014}\right)\left(1-\frac{1}{2015}\right)\left(1-\frac{1}{2016}\right)\left(1-\frac{1}{2017}\right)$$

המר את ‎1 לשבר ‎\frac{2014}{2014}.

$$\frac{1}{2013}\left(\frac{2014}{2014}-\frac{1}{2014}\right)\left(1-\frac{1}{2015}\right)\left(1-\frac{1}{2016}\right)\left(1-\frac{1}{2017}\right)$$

מכיוון ש- \frac{2014}{2014} ו- \frac{1}{2014} כוללים מכנה זהה, חסר אותם על-ידי חיסור המונים שלהם.

$$\frac{1}{2013}\times \frac{2014-1}{2014}\left(1-\frac{1}{2015}\right)\left(1-\frac{1}{2016}\right)\left(1-\frac{1}{2017}\right)$$

החסר את 1 מ- 2014 כדי לקבל 2013.

$$\frac{1}{2013}\times \frac{2013}{2014}\left(1-\frac{1}{2015}\right)\left(1-\frac{1}{2016}\right)\left(1-\frac{1}{2017}\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2013} ב- ‎\frac{2013}{2014} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה.

$$\frac{1\times 2013}{2013\times 2014}\left(1-\frac{1}{2015}\right)\left(1-\frac{1}{2016}\right)\left(1-\frac{1}{2017}\right)$$

ביטול ‎2013 גם במונה וגם במכנה.

$$\frac{1}{2014}\left(1-\frac{1}{2015}\right)\left(1-\frac{1}{2016}\right)\left(1-\frac{1}{2017}\right)$$

המר את ‎1 לשבר ‎\frac{2015}{2015}.

$$\frac{1}{2014}\left(\frac{2015}{2015}-\frac{1}{2015}\right)\left(1-\frac{1}{2016}\right)\left(1-\frac{1}{2017}\right)$$

מכיוון ש- \frac{2015}{2015} ו- \frac{1}{2015} כוללים מכנה זהה, חסר אותם על-ידי חיסור המונים שלהם.

$$\frac{1}{2014}\times \frac{2015-1}{2015}\left(1-\frac{1}{2016}\right)\left(1-\frac{1}{2017}\right)$$

החסר את 1 מ- 2015 כדי לקבל 2014.

$$\frac{1}{2014}\times \frac{2014}{2015}\left(1-\frac{1}{2016}\right)\left(1-\frac{1}{2017}\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2014} ב- ‎\frac{2014}{2015} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה.

$$\frac{1\times 2014}{2014\times 2015}\left(1-\frac{1}{2016}\right)\left(1-\frac{1}{2017}\right)$$

ביטול ‎2014 גם במונה וגם במכנה.

$$\frac{1}{2015}\left(1-\frac{1}{2016}\right)\left(1-\frac{1}{2017}\right)$$

המר את ‎1 לשבר ‎\frac{2016}{2016}.

$$\frac{1}{2015}\left(\frac{2016}{2016}-\frac{1}{2016}\right)\left(1-\frac{1}{2017}\right)$$

מכיוון ש- \frac{2016}{2016} ו- \frac{1}{2016} כוללים מכנה זהה, חסר אותם על-ידי חיסור המונים שלהם.

$$\frac{1}{2015}\times \frac{2016-1}{2016}\left(1-\frac{1}{2017}\right)$$

החסר את 1 מ- 2016 כדי לקבל 2015.

$$\frac{1}{2015}\times \frac{2015}{2016}\left(1-\frac{1}{2017}\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2015} ב- ‎\frac{2015}{2016} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה.

$$\frac{1\times 2015}{2015\times 2016}\left(1-\frac{1}{2017}\right)$$

ביטול ‎2015 גם במונה וגם במכנה.

$$\frac{1}{2016}\left(1-\frac{1}{2017}\right)$$

המר את ‎1 לשבר ‎\frac{2017}{2017}.

$$\frac{1}{2016}\left(\frac{2017}{2017}-\frac{1}{2017}\right)$$

מכיוון ש- \frac{2017}{2017} ו- \frac{1}{2017} כוללים מכנה זהה, חסר אותם על-ידי חיסור המונים שלהם.

$$\frac{1}{2016}\times \frac{2017-1}{2017}$$

החסר את 1 מ- 2017 כדי לקבל 2016.

$$\frac{1}{2016}\times \frac{2016}{2017}$$

הכפל את ‎\frac{1}{2016} ב- ‎\frac{2016}{2017} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה.

$$\frac{1\times 2016}{2016\times 2017}$$

ביטול ‎2016 גם במונה וגם במכנה.

$$\frac{1}{2017}$$

פרק לגורמים

$$\frac{1}{2017} = 0.0004957858205255329$$