פתור את frac{sqrt{5}div[sqrt{8}+sqrt{5}]}{sqrt{8}-sqrt{5}}

$$\frac { \sqrt { 5 } \div [ \sqrt { 8 } + \sqrt { 5 } ] } { \sqrt { 8 } - \sqrt { 5 } }$$

הערך

$$\frac{\sqrt{5}}{3}\approx 0.745355992$$

שלבי פתרון

פרק את 8=2^{2}\times 2 לגורמים. שכתב את השורש הריבועי של \sqrt{2^{2}\times 2} המוצר בתור המכפלה של \sqrt{2^{2}}\sqrt{2} ריבועיים הריבועי. הוצא את השורש הריבועי של 2^{2}.

$$\frac{\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}+\sqrt{5}}}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}$$

הפוך את המכנה של ‎\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}+\sqrt{5}} לרציונלי על-ידי הכפלת המונה והמכנה ב- ‎2\sqrt{2}-\sqrt{5}.

$$\frac{\frac{\sqrt{5}\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)}{\left(2\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)}}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}$$

שקול את \left(2\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}\right). ניתן להמיר כפל להפרשי הריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\frac{\sqrt{5}\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}$$

פיתוח ‎\left(2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{\frac{\sqrt{5}\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)}{2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}$$

חשב את 2 בחזקת 2 וקבל 4.

$$\frac{\frac{\sqrt{5}\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)}{4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}$$

הריבוע של ‎\sqrt{2} הוא ‎2.

$$\frac{\frac{\sqrt{5}\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)}{4\times 2-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}$$

הכפל את ‎4 ו- ‎2 כדי לקבל ‎8.

$$\frac{\frac{\sqrt{5}\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)}{8-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}$$

הריבוע של ‎\sqrt{5} הוא ‎5.

$$\frac{\frac{\sqrt{5}\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)}{8-5}}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}$$

החסר את 5 מ- 8 כדי לקבל 3.

$$\frac{\frac{\sqrt{5}\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)}{3}}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}$$

פרק את 8=2^{2}\times 2 לגורמים. שכתב את השורש הריבועי של \sqrt{2^{2}\times 2} המוצר בתור המכפלה של \sqrt{2^{2}}\sqrt{2} ריבועיים הריבועי. הוצא את השורש הריבועי של 2^{2}.

$$\frac{\frac{\sqrt{5}\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)}{3}}{2\sqrt{2}-\sqrt{5}}$$

בטא את ‎\frac{\frac{\sqrt{5}\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)}{3}}{2\sqrt{2}-\sqrt{5}} כשבר אחד.

$$\frac{\sqrt{5}\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)}{3\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)}$$

ביטול ‎-\sqrt{5}+2\sqrt{2} גם במונה וגם במכנה.

$$\frac{\sqrt{5}}{3}$$