פתור את cosalpha

$$\cos \alpha$$

גזור ביחס ל- ‎α

$$-\sin(\alpha )$$

שלבים הכוללים שימוש בהגדרה של נגזרת

עבור פונקציה f\left(x\right), הנגזרת היא הגבול של \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} כאשר h עובר ל- 0, אם גבול זה קיים.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha }(\cos(\alpha ))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(\alpha +h)-\cos(\alpha )}{h}\right)$$

השתמש בנוסחת הסכום עבור קוסינוס.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h+\alpha )-\cos(\alpha )}{h}$$

הוצא את הגורם המשותף \cos(\alpha ).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(\alpha )\left(\cos(h)-1\right)-\sin(\alpha )\sin(h)}{h}$$

כתוב מחדש את הגבול.

$$\left(\lim_{h\to 0}\cos(\alpha )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\left(\lim_{h\to 0}\sin(\alpha )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

השתמש בעובדה ש- ‎\alpha הוא קבוע בעת חישוב גבולות כאשר ‎h עובר אל ‎0.

$$\cos(\alpha )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\alpha )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

הגבול \lim_{\alpha \to 0}\frac{\sin(\alpha )}{\alpha } הוא 1.

$$\cos(\alpha )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\alpha )$$

כדי להעריך את הגבול ‎\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}‎, תחילה הכפל את המונה ואת המכנה ב- ‎\cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

הכפל את ‎\cos(h)+1 ב- ‎\cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

השתמש בזהות פיתגורס.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

כתוב מחדש את הגבול.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

הגבול \lim_{\alpha \to 0}\frac{\sin(\alpha )}{\alpha } הוא 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

השתמש בעובדה ש- ‎\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}‎ הוא רציף ב- ‎0‎.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

השתמש בערך ‎0 בביטוי ‎\cos(\alpha )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\alpha ).

$$-\sin(\alpha )$$

הערך

$$\cos(\alpha )$$