y-3x=2text{and}7x-2y=8 ઉકેલો

$$y - 3 x = 2 \text { and } 7 x - 2 y = 8$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x=12$$

$$y=38$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$y-3x=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3x ઍડ કરો.

$$y=3x+2$$

અન્ય સમીકરણ, -2y+7x=8 માં y માટે 3x+2 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-2\left(3x+2\right)+7x=8$$

3x+2 ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-6x-4+7x=8$$

7x માં -6x ઍડ કરો.

$$x-4=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 4 ઍડ કરો.

$$x=12$$

y=3x+2માં x માટે 12 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=3\times 12+2$$

12 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=36+2$$

36 માં 2 ઍડ કરો.

$$y=38$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=38,x=12$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 2+3\times 8\\2\times 2+8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\12\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=38,x=12$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

y અને -2y ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-2y-2\left(-3\right)x=-2\times 2,-2y+7x=8$$

સરળ બનાવો.

$$-2y+6x=-4,-2y+7x=8$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -2y+6x=-4માંથી -2y+7x=8 ને ઘટાડો.

$$-2y+2y+6x-7x=-4-8$$

2y માં -2y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -2y અને 2y ને વિભાજિત કરો.

$$6x-7x=-4-8$$

-7x માં 6x ઍડ કરો.

$$-x=-4-8$$

-8 માં -4 ઍડ કરો.

$$-x=-12$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=12$$

-2y+7x=8માં x માટે 12 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$-2y+7\times 12=8$$

12 ને 7 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-2y+84=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 84 નો ઘટાડો કરો.

$$-2y=-76$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=38$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=38,x=12$$