y^2-27y+180=0 ઉકેલો

$$y ^ { 2 } - 27 y + 180 = 0$$

y માટે ઉકેલો

$$y=12$$

$$y=15$$

વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, y^{2}-27y+180 નો અવયવ પાડવા માટે સૂત્ર y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) નો ઉપયોગ કરો. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=-27 ab=180$$

ab ઘનાત્મક હોવાથી, a અને b સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઋણાત્મક હોવાથી, બંને a અને b ઋણાત્મક છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન 180 આપે છે.

$$-1,-180 -2,-90 -3,-60 -4,-45 -5,-36 -6,-30 -9,-20 -10,-18 -12,-15$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$-1-180=-181 -2-90=-92 -3-60=-63 -4-45=-49 -5-36=-41 -6-30=-36 -9-20=-29 -10-18=-28 -12-15=-27$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો -27 આપે છે.

$$a=-15 b=-12$$

મેળવેલ મૂલ્યો નો ઉપયોગ કરીને અવયવ પાડેલ પદાવલિ \left(y+a\right)\left(y+b\right) ને ફરીથી લખો.

$$\left(y-15\right)\left(y-12\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, y-15=0 અને y-12=0 ઉકેલો.

$$y=15 y=12$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની y^{2}+ay+by+180 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=-27 ab=1\times 180=180$$

ab ઘનાત્મક હોવાથી, a અને b સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઋણાત્મક હોવાથી, બંને a અને b ઋણાત્મક છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન 180 આપે છે.

$$-1,-180 -2,-90 -3,-60 -4,-45 -5,-36 -6,-30 -9,-20 -10,-18 -12,-15$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$-1-180=-181 -2-90=-92 -3-60=-63 -4-45=-49 -5-36=-41 -6-30=-36 -9-20=-29 -10-18=-28 -12-15=-27$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો -27 આપે છે.

$$a=-15 b=-12$$

y^{2}-27y+180 ને \left(y^{2}-15y\right)+\left(-12y+180\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(y^{2}-15y\right)+\left(-12y+180\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં y અને બીજા સમૂહમાં -12 ના અવયવ પાડો.

$$y\left(y-15\right)-12\left(y-15\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ y-15 ના અવયવ પાડો.

$$\left(y-15\right)\left(y-12\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, y-15=0 અને y-12=0 ઉકેલો.

$$y=15 y=12$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$y^{2}-27y+180=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 1 ને, b માટે -27 ને, અને c માટે 180 ને બદલીને મૂકો.

$$y=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{\left(-27\right)^{2}-4\times 180}}{2}$$

વર્ગ -27.

$$y=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-4\times 180}}{2}$$

180 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-720}}{2}$$

-720 માં 729 ઍડ કરો.

$$y=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{9}}{2}$$

9 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$y=\frac{-\left(-27\right)±3}{2}$$

-27 નો વિરોધી 27 છે.

$$y=\frac{27±3}{2}$$

હવે y=\frac{27±3}{2} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 3 માં 27 ઍડ કરો.

$$y=\frac{30}{2}$$

30 નો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=15$$

હવે y=\frac{27±3}{2} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. 27 માંથી 3 ને ઘટાડો.

$$y=\frac{24}{2}$$

24 નો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=12$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$y=15 y=12$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-27y+180=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 180 નો ઘટાડો કરો.

$$y^{2}-27y+180-180=-180$$

સ્વયંમાંથી 180 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$y^{2}-27y=-180$$

-27, x પદના ગુણાંકને, -\frac{27}{2} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી -\frac{27}{2} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$y^{2}-27y+\left(-\frac{27}{2}\right)^{2}=-180+\left(-\frac{27}{2}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને -\frac{27}{2} નો વર્ગ કાઢો.

$$y^{2}-27y+\frac{729}{4}=-180+\frac{729}{4}$$

\frac{729}{4} માં -180 ઍડ કરો.

$$y^{2}-27y+\frac{729}{4}=\frac{9}{4}$$

અવયવ y^{2}-27y+\frac{729}{4}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(y-\frac{27}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(y-\frac{27}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

સરળ બનાવો.

$$y-\frac{27}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{27}{2}=-\frac{3}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{27}{2} ઍડ કરો.

$$y=15 y=12$$