y=2x-3text{and}5x+2y=30 ઉકેલો

$$y = 2 x - 3 \text { and } 5 x + 2 y = 30$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x=4$$

$$y=5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$y-2x=-3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$y-2x=-3,2y+5x=30$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$y-2x=-3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2x ઍડ કરો.

$$y=2x-3$$

અન્ય સમીકરણ, 2y+5x=30 માં y માટે 2x-3 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(2x-3\right)+5x=30$$

2x-3 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$4x-6+5x=30$$

5x માં 4x ઍડ કરો.

$$9x-6=30$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 6 ઍડ કરો.

$$9x=36$$

બન્ને બાજુનો 9 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=4$$

y=2x-3માં x માટે 4 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=2\times 4-3$$

4 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=8-3$$

8 માં -3 ઍડ કરો.

$$y=5$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=5,x=4$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$y-2x=-3$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$y-2x=-3,2y+5x=30$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{5-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{5-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&\frac{2}{9}\\-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\left(-3\right)+\frac{2}{9}\times 30\\-\frac{2}{9}\left(-3\right)+\frac{1}{9}\times 30\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=5,x=4$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$y-2x=-3$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$y-2x=-3,2y+5x=30$$

y અને 2y ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2y+2\left(-2\right)x=2\left(-3\right),2y+5x=30$$

સરળ બનાવો.

$$2y-4x=-6,2y+5x=30$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 2y-4x=-6માંથી 2y+5x=30 ને ઘટાડો.

$$2y-2y-4x-5x=-6-30$$

-2y માં 2y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 2y અને -2y ને વિભાજિત કરો.

$$-4x-5x=-6-30$$

-5x માં -4x ઍડ કરો.

$$-9x=-6-30$$

-30 માં -6 ઍડ કરો.

$$-9x=-36$$

બન્ને બાજુનો -9 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=4$$

2y+5x=30માં x માટે 4 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$2y+5\times 4=30$$

4 ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$2y+20=30$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 20 નો ઘટાડો કરો.

$$2y=10$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=5$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=5,x=4$$