x-ky=2,3x+2y+5=0 ઉકેલો

$$x - k y = 2,3 x + 2 y + 5 = 0$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{5k-4}{3k+2}$$

$$y=-\frac{11}{3k+2}$$

$$k\neq -\frac{2}{3}$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x+\left(-k\right)y=2,3x+2y+5=0$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x+\left(-k\right)y=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ ky ઍડ કરો.

$$x=ky+2$$

અન્ય સમીકરણ, 3x+2y+5=0 માં x માટે ky+2 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3\left(ky+2\right)+2y+5=0$$

ky+2 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$3ky+6+2y+5=0$$

2y માં 3ky ઍડ કરો.

$$\left(3k+2\right)y+6+5=0$$

5 માં 6 ઍડ કરો.

$$\left(3k+2\right)y+11=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 11 નો ઘટાડો કરો.

$$\left(3k+2\right)y=-11$$

બન્ને બાજુનો 3k+2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{11}{3k+2}$$

x=ky+2માં y માટે -\frac{11}{3k+2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=k\left(-\frac{11}{3k+2}\right)+2$$

-\frac{11}{3k+2} ને k વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{11k}{3k+2}+2$$

-\frac{11k}{3k+2} માં 2 ઍડ કરો.

$$x=\frac{4-5k}{3k+2}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{4-5k}{3k+2},y=-\frac{11}{3k+2}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x+\left(-k\right)y=2,3x+2y+5=0$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&-k\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-k\\3&2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-k\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-k\right)\times 3}&-\frac{-k}{2-\left(-k\right)\times 3}\\-\frac{3}{2-\left(-k\right)\times 3}&\frac{1}{2-\left(-k\right)\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3k+2}&\frac{k}{3k+2}\\-\frac{3}{3k+2}&\frac{1}{3k+2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3k+2}\times 2+\frac{k}{3k+2}\left(-5\right)\\\left(-\frac{3}{3k+2}\right)\times 2+\frac{1}{3k+2}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4-5k}{3k+2}\\-\frac{11}{3k+2}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{4-5k}{3k+2},y=-\frac{11}{3k+2}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x+\left(-k\right)y=2,3x+2y+5=0$$

x અને 3x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3x+3\left(-k\right)y=3\times 2,3x+2y+5=0$$

સરળ બનાવો.

$$3x+\left(-3k\right)y=6,3x+2y+5=0$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 3x+\left(-3k\right)y=6માંથી 3x+2y+5=0 ને ઘટાડો.

$$3x-3x+\left(-3k\right)y-2y-5=6$$

-3x માં 3x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 3x અને -3x ને વિભાજિત કરો.

$$\left(-3k\right)y-2y-5=6$$

-2y માં -3ky ઍડ કરો.

$$\left(-3k-2\right)y-5=6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 5 ઍડ કરો.

$$\left(-3k-2\right)y=11$$

બન્ને બાજુનો -3k-2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{11}{3k+2}$$

3x+2y+5=0માં y માટે -\frac{11}{3k+2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$3x+2\left(-\frac{11}{3k+2}\right)+5=0$$

-\frac{11}{3k+2} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$3x-\frac{22}{3k+2}+5=0$$

5 માં -\frac{22}{3k+2} ઍડ કરો.

$$3x+\frac{3\left(5k-4\right)}{3k+2}=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{3\left(-4+5k\right)}{3k+2} નો ઘટાડો કરો.

$$3x=-\frac{3\left(5k-4\right)}{3k+2}$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{5k-4}{3k+2}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{5k-4}{3k+2},y=-\frac{11}{3k+2}$$