x^4+x^2+x+1=(x^2+A)(x^2-1)+Bx+C ઉકેલો

$$x ^ { 4 } + x ^ { 2 } + x + 1 = ( x ^ { 2 } + A ) ( x ^ { 2 } - 1 ) + B x + C$$

A માટે ઉકેલો (જટિલ સમાધાન)

$$\left\{\begin{matrix}A=-\frac{-2x^{2}+Bx-x+C-1}{x^{2}-1}\text{, }&x\neq -1\text{ and }x\neq 1\\A\in \mathrm{C}\text{, }&\left(B=4-C\text{ and }x=1\right)\text{ or }\left(B=C-2\text{ and }x=-1\right)\end{matrix}\right.$$

રેખીય સમીકરણને ઉકેલવાના પગલા

x^{2}+A સાથે x^{2}-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

બન્ને બાજુથી x^{4} ઘટાડો.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

0 ને મેળવવા માટે x^{4} અને -x^{4} ને એકસાથે કરો.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

બંને સાઇડ્સ માટે x^{2} ઍડ કરો.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

2x^{2} ને મેળવવા માટે x^{2} અને x^{2} ને એકસાથે કરો.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

બન્ને બાજુથી Bx ઘટાડો.

$$Ax^{2}-A+C=2x^{2}+x+1-Bx$$

બન્ને બાજુથી C ઘટાડો.

$$Ax^{2}-A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

A નો સમાવેશ કરતા બધા પદોને એકસાથે કરો.

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે.

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}-Bx+x-C+1$$

બન્ને બાજુનો x^{2}-1 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)A}{x^{2}-1}=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

x^{2}-1 થી ભાગાકાર કરવાથી x^{2}-1 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$A=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

B માટે ઉકેલો (જટિલ સમાધાન)

$$\left\{\begin{matrix}B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}\text{, }&x\neq 0\\B\in \mathrm{C}\text{, }&A=C-1\text{ and }x=0\end{matrix}\right.$$

રેખીય સમીકરણને ઉકેલવાના પગલા

x^{2}+A સાથે x^{2}-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

બન્ને બાજુથી x^{4} ઘટાડો.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

0 ને મેળવવા માટે x^{4} અને -x^{4} ને એકસાથે કરો.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

બંને સાઇડ્સ માટે x^{2} ઍડ કરો.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

2x^{2} ને મેળવવા માટે x^{2} અને x^{2} ને એકસાથે કરો.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

બન્ને બાજુથી Ax^{2} ઘટાડો.

$$-A+Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}$$

બંને સાઇડ્સ માટે A ઍડ કરો.

$$Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A$$

બન્ને બાજુથી C ઘટાડો.

$$Bx=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A-C$$

પદોને પુનઃક્રમાંકિત કરો.

$$Bx=-Ax^{2}+2x^{2}+x+A-C+1$$

સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે.

$$xB=1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}$$

બન્ને બાજુનો x થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{xB}{x}=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$

x થી ભાગાકાર કરવાથી x સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$

A માટે ઉકેલો

$$\left\{\begin{matrix}A=-\frac{-2x^{2}+Bx-x+C-1}{x^{2}-1}\text{, }&|x|\neq 1\\A\in \mathrm{R}\text{, }&\left(B=C-2\text{ and }x=-1\right)\text{ or }\left(B=4-C\text{ and }x=1\right)\end{matrix}\right.$$

રેખીય સમીકરણને ઉકેલવાના પગલા

x^{2}+A સાથે x^{2}-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

બન્ને બાજુથી x^{4} ઘટાડો.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

0 ને મેળવવા માટે x^{4} અને -x^{4} ને એકસાથે કરો.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

બંને સાઇડ્સ માટે x^{2} ઍડ કરો.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

2x^{2} ને મેળવવા માટે x^{2} અને x^{2} ને એકસાથે કરો.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

બન્ને બાજુથી Bx ઘટાડો.

$$Ax^{2}-A+C=2x^{2}+x+1-Bx$$

બન્ને બાજુથી C ઘટાડો.

$$Ax^{2}-A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

A નો સમાવેશ કરતા બધા પદોને એકસાથે કરો.

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે.

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}-Bx+x-C+1$$

બન્ને બાજુનો x^{2}-1 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)A}{x^{2}-1}=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

x^{2}-1 થી ભાગાકાર કરવાથી x^{2}-1 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$A=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

B માટે ઉકેલો

$$\left\{\begin{matrix}B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}\text{, }&x\neq 0\\B\in \mathrm{R}\text{, }&A=C-1\text{ and }x=0\end{matrix}\right.$$

રેખીય સમીકરણને ઉકેલવાના પગલા

x^{2}+A સાથે x^{2}-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

બન્ને બાજુથી x^{4} ઘટાડો.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

0 ને મેળવવા માટે x^{4} અને -x^{4} ને એકસાથે કરો.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

બંને સાઇડ્સ માટે x^{2} ઍડ કરો.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

2x^{2} ને મેળવવા માટે x^{2} અને x^{2} ને એકસાથે કરો.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

બન્ને બાજુથી Ax^{2} ઘટાડો.

$$-A+Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}$$

બંને સાઇડ્સ માટે A ઍડ કરો.

$$Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A$$

બન્ને બાજુથી C ઘટાડો.

$$Bx=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A-C$$

પદોને પુનઃક્રમાંકિત કરો.

$$Bx=-Ax^{2}+2x^{2}+x+A-C+1$$

સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે.

$$xB=1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}$$

બન્ને બાજુનો x થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{xB}{x}=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$

x થી ભાગાકાર કરવાથી x સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$