n^2-n-210=0 ઉકેલો

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

n માટે ઉકેલો

$$n=-14$$

$$n=15$$

વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, n^{2}-n-210 નો અવયવ પાડવા માટે સૂત્ર n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) નો ઉપયોગ કરો. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=-1 ab=-210$$

ab ઋણાત્મક હોવાથી, a અને b વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઋણાત્મક હોવાથી, ઋણાત્મક સંખ્યામાં ઘનાત્મક કરતાં વધારે સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન -210 આપે છે.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો -1 આપે છે.

$$a=-15 b=14$$

મેળવેલ મૂલ્યો નો ઉપયોગ કરીને અવયવ પાડેલ પદાવલિ \left(n+a\right)\left(n+b\right) ને ફરીથી લખો.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, n-15=0 અને n+14=0 ઉકેલો.

$$n=15 n=-14$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની n^{2}+an+bn-210 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

ab ઋણાત્મક હોવાથી, a અને b વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઋણાત્મક હોવાથી, ઋણાત્મક સંખ્યામાં ઘનાત્મક કરતાં વધારે સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન -210 આપે છે.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો -1 આપે છે.

$$a=-15 b=14$$

n^{2}-n-210 ને \left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં n અને બીજા સમૂહમાં 14 ના અવયવ પાડો.

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ n-15 ના અવયવ પાડો.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, n-15=0 અને n+14=0 ઉકેલો.

$$n=15 n=-14$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$n^{2}-n-210=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 1 ને, b માટે -1 ને, અને c માટે -210 ને બદલીને મૂકો.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

-210 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

840 માં 1 ઍડ કરો.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

841 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

-1 નો વિરોધી 1 છે.

$$n=\frac{1±29}{2}$$

હવે n=\frac{1±29}{2} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 29 માં 1 ઍડ કરો.

$$n=\frac{30}{2}$$

30 નો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$n=15$$

હવે n=\frac{1±29}{2} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. 1 માંથી 29 ને ઘટાડો.

$$n=-\frac{28}{2}$$

-28 નો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$n=-14$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$n=15 n=-14$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n-210=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 210 ઍડ કરો.

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

સ્વયંમાંથી -210 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

0 માંથી -210 ને ઘટાડો.

$$n^{2}-n=210$$

-1, x પદના ગુણાંકને, -\frac{1}{2} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી -\frac{1}{2} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને -\frac{1}{2} નો વર્ગ કાઢો.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

\frac{1}{4} માં 210 ઍડ કરો.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

n^{2}-n+\frac{1}{4} અવયવ. સામાન્યમાં, જ્યારે x^{2}+bx+c સંપૂર્ણ વર્ગ હોય ત્યારે, એને હંમેશા \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે અવયવ કરી શકાય.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

સરળ બનાવો.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{1}{2} ઍડ કરો.

$$n=15 n=-14$$