n^2-25n+144=0 ઉકેલો

$$n ^ { 2 } - 25 n + 144 = 0$$

n માટે ઉકેલો

$$n=9$$

$$n=16$$

વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, n^{2}-25n+144 નો અવયવ પાડવા માટે સૂત્ર n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) નો ઉપયોગ કરો. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=-25 ab=144$$

ab ઘનાત્મક હોવાથી, a અને b સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઋણાત્મક હોવાથી, બંને a અને b ઋણાત્મક છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન 144 આપે છે.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો -25 આપે છે.

$$a=-16 b=-9$$

મેળવેલ મૂલ્યો નો ઉપયોગ કરીને અવયવ પાડેલ પદાવલિ \left(n+a\right)\left(n+b\right) ને ફરીથી લખો.

$$\left(n-16\right)\left(n-9\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, n-16=0 અને n-9=0 ઉકેલો.

$$n=16 n=9$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની n^{2}+an+bn+144 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=-25 ab=1\times 144=144$$

ab ઘનાત્મક હોવાથી, a અને b સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઋણાત્મક હોવાથી, બંને a અને b ઋણાત્મક છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન 144 આપે છે.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો -25 આપે છે.

$$a=-16 b=-9$$

n^{2}-25n+144 ને \left(n^{2}-16n\right)+\left(-9n+144\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(n^{2}-16n\right)+\left(-9n+144\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં n અને બીજા સમૂહમાં -9 ના અવયવ પાડો.

$$n\left(n-16\right)-9\left(n-16\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ n-16 ના અવયવ પાડો.

$$\left(n-16\right)\left(n-9\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, n-16=0 અને n-9=0 ઉકેલો.

$$n=16 n=9$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$n^{2}-25n+144=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 1 ને, b માટે -25 ને, અને c માટે 144 ને બદલીને મૂકો.

$$n=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 144}}{2}$$

વર્ગ -25.

$$n=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 144}}{2}$$

144 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$n=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-576}}{2}$$

-576 માં 625 ઍડ કરો.

$$n=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{49}}{2}$$

49 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$n=\frac{-\left(-25\right)±7}{2}$$

-25 નો વિરોધી 25 છે.

$$n=\frac{25±7}{2}$$

હવે n=\frac{25±7}{2} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 7 માં 25 ઍડ કરો.

$$n=\frac{32}{2}$$

32 નો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$n=16$$

હવે n=\frac{25±7}{2} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. 25 માંથી 7 ને ઘટાડો.

$$n=\frac{18}{2}$$

18 નો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$n=9$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$n=16 n=9$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-25n+144=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 144 નો ઘટાડો કરો.

$$n^{2}-25n+144-144=-144$$

સ્વયંમાંથી 144 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$n^{2}-25n=-144$$

-25, x પદના ગુણાંકને, -\frac{25}{2} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી -\frac{25}{2} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$n^{2}-25n+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-144+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને -\frac{25}{2} નો વર્ગ કાઢો.

$$n^{2}-25n+\frac{625}{4}=-144+\frac{625}{4}$$

\frac{625}{4} માં -144 ઍડ કરો.

$$n^{2}-25n+\frac{625}{4}=\frac{49}{4}$$

અવયવ n^{2}-25n+\frac{625}{4}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(n-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(n-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

સરળ બનાવો.

$$n-\frac{25}{2}=\frac{7}{2} n-\frac{25}{2}=-\frac{7}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{25}{2} ઍડ કરો.

$$n=16 n=9$$