n^2-11n-60=0 ઉકેલો

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

n માટે ઉકેલો

$$n=-4$$

$$n=15$$

વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, n^{2}-11n-60 નો અવયવ પાડવા માટે સૂત્ર n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) નો ઉપયોગ કરો. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=-11 ab=-60$$

ab ઋણાત્મક હોવાથી, a અને b વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઋણાત્મક હોવાથી, ઋણાત્મક સંખ્યામાં ઘનાત્મક કરતાં વધારે સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન -60 આપે છે.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો -11 આપે છે.

$$a=-15 b=4$$

મેળવેલ મૂલ્યો નો ઉપયોગ કરીને અવયવ પાડેલ પદાવલિ \left(n+a\right)\left(n+b\right) ને ફરીથી લખો.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, n-15=0 અને n+4=0 ઉકેલો.

$$n=15 n=-4$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની n^{2}+an+bn-60 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

ab ઋણાત્મક હોવાથી, a અને b વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઋણાત્મક હોવાથી, ઋણાત્મક સંખ્યામાં ઘનાત્મક કરતાં વધારે સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન -60 આપે છે.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો -11 આપે છે.

$$a=-15 b=4$$

n^{2}-11n-60 ને \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં n અને બીજા સમૂહમાં 4 ના અવયવ પાડો.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ n-15 ના અવયવ પાડો.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, n-15=0 અને n+4=0 ઉકેલો.

$$n=15 n=-4$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$n^{2}-11n-60=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 1 ને, b માટે -11 ને, અને c માટે -60 ને બદલીને મૂકો.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

વર્ગ -11.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

-60 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

240 માં 121 ઍડ કરો.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

361 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

-11 નો વિરોધી 11 છે.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

હવે n=\frac{11±19}{2} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 19 માં 11 ઍડ કરો.

$$n=\frac{30}{2}$$

30 નો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$n=15$$

હવે n=\frac{11±19}{2} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. 11 માંથી 19 ને ઘટાડો.

$$n=-\frac{8}{2}$$

-8 નો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$n=-4$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$n=15 n=-4$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-11n-60=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 60 ઍડ કરો.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

સ્વયંમાંથી -60 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

0 માંથી -60 ને ઘટાડો.

$$n^{2}-11n=60$$

-11, x પદના ગુણાંકને, -\frac{11}{2} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી -\frac{11}{2} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને -\frac{11}{2} નો વર્ગ કાઢો.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

\frac{121}{4} માં 60 ઍડ કરો.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

અવયવ n^{2}-11n+\frac{121}{4}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

સરળ બનાવો.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{11}{2} ઍડ કરો.

$$n=15 n=-4$$