f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,cinR,quadf^prime(x)forallf(x) ઉકેલો

$$f ( x ) = ( x - a ) ( x - b ) ( x - c ) , a , b , c \in R , \quad f ^ { \prime } ( x ) \forall f ( x )$$

a માટે ઉકેલો

$$\left\{\begin{matrix}a=-\frac{x\left(x^{2}-bx-cx+bc-f\right)}{\left(b-x\right)\left(x-c\right)}\text{, }&x\neq c\text{ and }x\neq b\\a\in \mathrm{R}\text{, }&\left(f=0\text{ and }x=c\right)\text{ or }\left(x=0\text{ and }c=0\right)\text{ or }\left(x=0\text{ and }b=0\text{ and }c\neq 0\right)\text{ or }\left(f=0\text{ and }x=b\text{ and }b\neq c\right)\end{matrix}\right.$$

રેખીય સમીકરણને ઉકેલવાના પગલા

x-a સાથે x-b નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$fx=\left(x^{2}-xb-ax+ab\right)\left(x-c\right)$$

x^{2}-xb-ax+ab સાથે x-c નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$fx=x^{3}-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc$$

બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$x^{3}-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx$$

બન્ને બાજુથી x^{3} ઘટાડો.

$$-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}$$

બંને સાઇડ્સ માટે x^{2}c ઍડ કરો.

$$-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c$$

બંને સાઇડ્સ માટે bx^{2} ઍડ કરો.

$$bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c+bx^{2}$$

બન્ને બાજુથી bxc ઘટાડો.

$$-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c+bx^{2}-bxc$$

પદોને પુનઃક્રમાંકિત કરો.

$$-ax^{2}+abx+acx-abc=-x^{3}+bx^{2}+cx^{2}-bcx+fx$$

a નો સમાવેશ કરતા બધા પદોને એકસાથે કરો.

$$\left(-x^{2}+bx+cx-bc\right)a=-x^{3}+bx^{2}+cx^{2}-bcx+fx$$

સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે.

$$\left(-x^{2}+bx+cx-bc\right)a=fx-bcx+cx^{2}+bx^{2}-x^{3}$$

બન્ને બાજુનો bx-bc-x^{2}+xc થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{\left(-x^{2}+bx+cx-bc\right)a}{-x^{2}+bx+cx-bc}=\frac{x\left(f-bc+cx+bx-x^{2}\right)}{-x^{2}+bx+cx-bc}$$

bx-bc-x^{2}+xc થી ભાગાકાર કરવાથી bx-bc-x^{2}+xc સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$a=\frac{x\left(f-bc+cx+bx-x^{2}\right)}{-x^{2}+bx+cx-bc}$$

x\left(-x^{2}+bx+cx-bc+f\right) નો bx-bc-x^{2}+xc થી ભાગાકાર કરો.

$$a=\frac{x\left(f-bc+cx+bx-x^{2}\right)}{\left(b-x\right)\left(x-c\right)}$$

b માટે ઉકેલો

$$\left\{\begin{matrix}b=-\frac{x\left(x^{2}-ax-cx+ac-f\right)}{\left(a-x\right)\left(x-c\right)}\text{, }&x\neq c\text{ and }x\neq a\\b\in \mathrm{R}\text{, }&\left(f=0\text{ and }x=c\right)\text{ or }\left(x=0\text{ and }c=0\right)\text{ or }\left(x=0\text{ and }a=0\text{ and }c\neq 0\right)\text{ or }\left(f=0\text{ and }x=a\text{ and }a\neq c\right)\end{matrix}\right.$$

રેખીય સમીકરણને ઉકેલવાના પગલા

x-a સાથે x-b નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$fx=\left(x^{2}-xb-ax+ab\right)\left(x-c\right)$$

x^{2}-xb-ax+ab સાથે x-c નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$fx=x^{3}-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc$$

બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$x^{3}-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx$$

બન્ને બાજુથી x^{3} ઘટાડો.

$$-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}$$

બંને સાઇડ્સ માટે x^{2}c ઍડ કરો.

$$-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c$$

બંને સાઇડ્સ માટે ax^{2} ઍડ કરો.

$$-bx^{2}+bxc+axc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c+ax^{2}$$

બન્ને બાજુથી axc ઘટાડો.

$$-bx^{2}+bxc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c+ax^{2}-axc$$

પદોને પુનઃક્રમાંકિત કરો.

$$-bx^{2}+abx+bcx-abc=-x^{3}+ax^{2}+cx^{2}-acx+fx$$

b નો સમાવેશ કરતા બધા પદોને એકસાથે કરો.

$$\left(-x^{2}+ax+cx-ac\right)b=-x^{3}+ax^{2}+cx^{2}-acx+fx$$

સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે.

$$\left(-x^{2}+ax+cx-ac\right)b=fx-acx+cx^{2}+ax^{2}-x^{3}$$

બન્ને બાજુનો ax-ac-x^{2}+xc થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{\left(-x^{2}+ax+cx-ac\right)b}{-x^{2}+ax+cx-ac}=\frac{x\left(f-ac+cx+ax-x^{2}\right)}{-x^{2}+ax+cx-ac}$$

ax-ac-x^{2}+xc થી ભાગાકાર કરવાથી ax-ac-x^{2}+xc સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$b=\frac{x\left(f-ac+cx+ax-x^{2}\right)}{-x^{2}+ax+cx-ac}$$

x\left(-x^{2}+ax+cx-ac+f\right) નો ax-ac-x^{2}+xc થી ભાગાકાર કરો.

$$b=\frac{x\left(f-ac+cx+ax-x^{2}\right)}{\left(a-x\right)\left(x-c\right)}$$