9n^2-23n+20=3n^2 ઉકેલો

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

n માટે ઉકેલો

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

બન્ને બાજુથી 3n^{2} ઘટાડો.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

6n^{2} ને મેળવવા માટે 9n^{2} અને -3n^{2} ને એકસાથે કરો.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની 6n^{2}+an+bn+20 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

ab ઘનાત્મક હોવાથી, a અને b સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઋણાત્મક હોવાથી, બંને a અને b ઋણાત્મક છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન 120 આપે છે.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો -23 આપે છે.

$$a=-15 b=-8$$

6n^{2}-23n+20 ને \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં 3n અને બીજા સમૂહમાં -4 ના અવયવ પાડો.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ 2n-5 ના અવયવ પાડો.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, 2n-5=0 અને 3n-4=0 ઉકેલો.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બન્ને બાજુથી 3n^{2} ઘટાડો.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

6n^{2} ને મેળવવા માટે 9n^{2} અને -3n^{2} ને એકસાથે કરો.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 6 ને, b માટે -23 ને, અને c માટે 20 ને બદલીને મૂકો.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

વર્ગ -23.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

6 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

20 ને -24 વાર ગુણાકાર કરો.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

-480 માં 529 ઍડ કરો.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

49 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

-23 નો વિરોધી 23 છે.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

6 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

હવે n=\frac{23±7}{12} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 7 માં 23 ઍડ કરો.

$$n=\frac{30}{12}$$

6 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{30}{12} ને ઘટાડો.

$$n=\frac{5}{2}$$

હવે n=\frac{23±7}{12} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. 23 માંથી 7 ને ઘટાડો.

$$n=\frac{16}{12}$$

4 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{16}{12} ને ઘટાડો.

$$n=\frac{4}{3}$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

બન્ને બાજુથી 3n^{2} ઘટાડો.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

6n^{2} ને મેળવવા માટે 9n^{2} અને -3n^{2} ને એકસાથે કરો.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

બન્ને બાજુથી 20 ઘટાડો. કંઈપણને શૂન્યમાંથી બાદ કરવાથી તેનું નકારાત્મક આપે છે.

$$6n^{2}-23n=-20$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

6 થી ભાગાકાર કરવાથી 6 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

2 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{-20}{6} ને ઘટાડો.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

-\frac{23}{6}, x પદના ગુણાંકને, -\frac{23}{12} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી -\frac{23}{12} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને -\frac{23}{12} નો વર્ગ કાઢો.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{529}{144} માં -\frac{10}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144} અવયવ. સામાન્યમાં, જ્યારે x^{2}+bx+c સંપૂર્ણ વર્ગ હોય ત્યારે, એને હંમેશા \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે અવયવ કરી શકાય.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

સરળ બનાવો.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{23}{12} ઍડ કરો.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$