6y^2+13y+6=0 ઉકેલો

$$6 y ^ { 2 } + 13 y + 6 = 0$$

y માટે ઉકેલો

$$y = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$y=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની 6y^{2}+ay+by+6 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=13 ab=6\times 6=36$$

ab ઘનાત્મક હોવાથી, a અને b સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઘનાત્મક હોવાથી, બંને a અને b ઘનાત્મક છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન 36 આપે છે.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો 13 આપે છે.

$$a=4 b=9$$

6y^{2}+13y+6 ને \left(6y^{2}+4y\right)+\left(9y+6\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(6y^{2}+4y\right)+\left(9y+6\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં 2y અને બીજા સમૂહમાં 3 ના અવયવ પાડો.

$$2y\left(3y+2\right)+3\left(3y+2\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ 3y+2 ના અવયવ પાડો.

$$\left(3y+2\right)\left(2y+3\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, 3y+2=0 અને 2y+3=0 ઉકેલો.

$$y=-\frac{2}{3} y=-\frac{3}{2}$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$6y^{2}+13y+6=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 6 ને, b માટે 13 ને, અને c માટે 6 ને બદલીને મૂકો.

$$y=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 6\times 6}}{2\times 6}$$

વર્ગ 13.

$$y=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 6\times 6}}{2\times 6}$$

6 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-13±\sqrt{169-24\times 6}}{2\times 6}$$

6 ને -24 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-13±\sqrt{169-144}}{2\times 6}$$

-144 માં 169 ઍડ કરો.

$$y=\frac{-13±\sqrt{25}}{2\times 6}$$

25 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$y=\frac{-13±5}{2\times 6}$$

6 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-13±5}{12}$$

હવે y=\frac{-13±5}{12} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 5 માં -13 ઍડ કરો.

$$y=-\frac{8}{12}$$

4 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{-8}{12} ને ઘટાડો.

$$y=-\frac{2}{3}$$

હવે y=\frac{-13±5}{12} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. -13 માંથી 5 ને ઘટાડો.

$$y=-\frac{18}{12}$$

6 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{-18}{12} ને ઘટાડો.

$$y=-\frac{3}{2}$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$y=-\frac{2}{3} y=-\frac{3}{2}$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$6y^{2}+13y+6=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 6 નો ઘટાડો કરો.

$$6y^{2}+13y+6-6=-6$$

સ્વયંમાંથી 6 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$6y^{2}+13y=-6$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{6y^{2}+13y}{6}=-\frac{6}{6}$$

6 થી ભાગાકાર કરવાથી 6 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$y^{2}+\frac{13}{6}y=-\frac{6}{6}$$

-6 નો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$y^{2}+\frac{13}{6}y=-1$$

\frac{13}{6}, x પદના ગુણાંકને, \frac{13}{12} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી \frac{13}{12} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$y^{2}+\frac{13}{6}y+\left(\frac{13}{12}\right)^{2}=-1+\left(\frac{13}{12}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને \frac{13}{12} નો વર્ગ કાઢો.

$$y^{2}+\frac{13}{6}y+\frac{169}{144}=-1+\frac{169}{144}$$

\frac{169}{144} માં -1 ઍડ કરો.

$$y^{2}+\frac{13}{6}y+\frac{169}{144}=\frac{25}{144}$$

અવયવ y^{2}+\frac{13}{6}y+\frac{169}{144}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(y+\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{25}{144}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(y+\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{144}}$$

સરળ બનાવો.

$$y+\frac{13}{12}=\frac{5}{12} y+\frac{13}{12}=-\frac{5}{12}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{13}{12} નો ઘટાડો કરો.

$$y=-\frac{2}{3} y=-\frac{3}{2}$$