6x^2+11x+3=0 ઉકેલો

$$6 { x }^{ 2 } +11x+3=0$$

x માટે ઉકેલો

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની 6x^{2}+ax+bx+3 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=11 ab=6\times 3=18$$

ab ઘનાત્મક હોવાથી, a અને b સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઘનાત્મક હોવાથી, બંને a અને b ઘનાત્મક છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન 18 આપે છે.

$$1,18 2,9 3,6$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો 11 આપે છે.

$$a=2 b=9$$

6x^{2}+11x+3 ને \left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં 2x અને બીજા સમૂહમાં 3 ના અવયવ પાડો.

$$2x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ 3x+1 ના અવયવ પાડો.

$$\left(3x+1\right)\left(2x+3\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, 3x+1=0 અને 2x+3=0 ઉકેલો.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 6 ને, b માટે 11 ને, અને c માટે 3 ને બદલીને મૂકો.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

વર્ગ 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

6 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-24\times 3}}{2\times 6}$$

3 ને -24 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-72}}{2\times 6}$$

-72 માં 121 ઍડ કરો.

$$x=\frac{-11±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

49 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$x=\frac{-11±7}{2\times 6}$$

6 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-11±7}{12}$$

હવે x=\frac{-11±7}{12} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 7 માં -11 ઍડ કરો.

$$x=-\frac{4}{12}$$

4 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{-4}{12} ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{1}{3}$$

હવે x=\frac{-11±7}{12} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. -11 માંથી 7 ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{18}{12}$$

6 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{-18}{12} ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{3}{2}$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3 નો ઘટાડો કરો.

$$6x^{2}+11x+3-3=-3$$

સ્વયંમાંથી 3 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$6x^{2}+11x=-3$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{6x^{2}+11x}{6}=-\frac{3}{6}$$

6 થી ભાગાકાર કરવાથી 6 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{3}{6}$$

3 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{-3}{6} ને ઘટાડો.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{1}{2}$$

\frac{11}{6}, x પદના ગુણાંકને, \frac{11}{12} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી \frac{11}{12} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને \frac{11}{12} નો વર્ગ કાઢો.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=-\frac{1}{2}+\frac{121}{144}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{121}{144} માં -\frac{1}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{49}{144}$$

અવયવ x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

સરળ બનાવો.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{7}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{7}{12}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{11}{12} નો ઘટાડો કરો.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$