5x+7y=22,quad6x+2y=20 ઉકેલો

$$5 x + 7 y = 22 , \quad 6 x + 2 y = 20$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=3$$

$$y=1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5x+7y=22,6x+2y=20$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$5x+7y=22$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 7y નો ઘટાડો કરો.

$$5x=-7y+22$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+22\right)$$

-7y+22 ને \frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{7}{5}y+\frac{22}{5}$$

અન્ય સમીકરણ, 6x+2y=20 માં x માટે \frac{-7y+22}{5} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$6\left(-\frac{7}{5}y+\frac{22}{5}\right)+2y=20$$

\frac{-7y+22}{5} ને 6 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{42}{5}y+\frac{132}{5}+2y=20$$

2y માં -\frac{42y}{5} ઍડ કરો.

$$-\frac{32}{5}y+\frac{132}{5}=20$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{132}{5} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{32}{5}y=-\frac{32}{5}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{32}{5} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=1$$

x=-\frac{7}{5}y+\frac{22}{5}માં y માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{-7+22}{5}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{7}{5} માં \frac{22}{5} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=3,y=1$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$5x+7y=22,6x+2y=20$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}5&7\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&7\\6&2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-7\times 6}&-\frac{7}{5\times 2-7\times 6}\\-\frac{6}{5\times 2-7\times 6}&\frac{5}{5\times 2-7\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{16}&\frac{7}{32}\\\frac{3}{16}&-\frac{5}{32}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{16}\times 22+\frac{7}{32}\times 20\\\frac{3}{16}\times 22-\frac{5}{32}\times 20\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=3,y=1$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$5x+7y=22,6x+2y=20$$

5x અને 6x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 6 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$6\times 5x+6\times 7y=6\times 22,5\times 6x+5\times 2y=5\times 20$$

સરળ બનાવો.

$$30x+42y=132,30x+10y=100$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 30x+42y=132માંથી 30x+10y=100 ને ઘટાડો.

$$30x-30x+42y-10y=132-100$$

-30x માં 30x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 30x અને -30x ને વિભાજિત કરો.

$$42y-10y=132-100$$

-10y માં 42y ઍડ કરો.

$$32y=132-100$$

-100 માં 132 ઍડ કરો.

$$32y=32$$

બન્ને બાજુનો 32 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=1$$

6x+2y=20માં y માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$6x+2=20$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2 નો ઘટાડો કરો.

$$6x=18$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=3,y=1$$