42x^2-5x-3=0 ઉકેલો

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

x માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0.214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની 42x^{2}+ax+bx-3 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

ab ઋણાત્મક હોવાથી, a અને b વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઋણાત્મક હોવાથી, ઋણાત્મક સંખ્યામાં ઘનાત્મક કરતાં વધારે સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન -126 આપે છે.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો -5 આપે છે.

$$a=-14 b=9$$

42x^{2}-5x-3 ને \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં 14x અને બીજા સમૂહમાં 3 ના અવયવ પાડો.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ 3x-1 ના અવયવ પાડો.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, 3x-1=0 અને 14x+3=0 ઉકેલો.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 42 ને, b માટે -5 ને, અને c માટે -3 ને બદલીને મૂકો.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

વર્ગ -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

42 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

-3 ને -168 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

504 માં 25 ઍડ કરો.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

529 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

-5 નો વિરોધી 5 છે.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

42 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

હવે x=\frac{5±23}{84} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 23 માં 5 ઍડ કરો.

$$x=\frac{28}{84}$$

28 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{28}{84} ને ઘટાડો.

$$x=\frac{1}{3}$$

હવે x=\frac{5±23}{84} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. 5 માંથી 23 ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{18}{84}$$

6 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{-18}{84} ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{3}{14}$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3 ઍડ કરો.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

સ્વયંમાંથી -3 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

0 માંથી -3 ને ઘટાડો.

$$42x^{2}-5x=3$$

બન્ને બાજુનો 42 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

42 થી ભાગાકાર કરવાથી 42 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

3 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{3}{42} ને ઘટાડો.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

-\frac{5}{42}, x પદના ગુણાંકને, -\frac{5}{84} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી -\frac{5}{84} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને -\frac{5}{84} નો વર્ગ કાઢો.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{25}{7056} માં \frac{1}{14} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

અવયવ x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

સરળ બનાવો.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{5}{84} ઍડ કરો.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$