4x-5y=-14text{and}7x+y=-5 ઉકેલો

$$4 x - 5 y = - 14 \text { and } 7 x + y = - 5$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-1$$

$$y=2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$4x-5y=-14$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 5y ઍડ કરો.

$$4x=5y-14$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-14\right)$$

5y-14 ને \frac{1}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, 7x+y=-5 માં x માટે \frac{5y}{4}-\frac{7}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$7\left(\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}\right)+y=-5$$

\frac{5y}{4}-\frac{7}{2} ને 7 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{35}{4}y-\frac{49}{2}+y=-5$$

y માં \frac{35y}{4} ઍડ કરો.

$$\frac{39}{4}y-\frac{49}{2}=-5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{49}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{39}{4}y=\frac{39}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{39}{4} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=2$$

x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}માં y માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{5}{4}\times 2-\frac{7}{2}$$

2 ને \frac{5}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{5-7}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{5}{2} માં -\frac{7}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-1,y=2$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{7}{39}&\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}\left(-14\right)+\frac{5}{39}\left(-5\right)\\-\frac{7}{39}\left(-14\right)+\frac{4}{39}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-1,y=2$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

4x અને 7x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 7 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\left(-14\right),4\times 7x+4y=4\left(-5\right)$$

સરળ બનાવો.

$$28x-35y=-98,28x+4y=-20$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 28x-35y=-98માંથી 28x+4y=-20 ને ઘટાડો.

$$28x-28x-35y-4y=-98+20$$

-28x માં 28x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 28x અને -28x ને વિભાજિત કરો.

$$-35y-4y=-98+20$$

-4y માં -35y ઍડ કરો.

$$-39y=-98+20$$

20 માં -98 ઍડ કરો.

$$-39y=-78$$

બન્ને બાજુનો -39 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=2$$

7x+y=-5માં y માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$7x+2=-5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2 નો ઘટાડો કરો.

$$7x=-7$$

બન્ને બાજુનો 7 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-1,y=2$$