4x^2-9x-9=0 ઉકેલો

$$4 x ^ { 2 } - 9 x - 9 = 0$$

x માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$x=3$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની 4x^{2}+ax+bx-9 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=-9 ab=4\left(-9\right)=-36$$

ab ઋણાત્મક હોવાથી, a અને b વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઋણાત્મક હોવાથી, ઋણાત્મક સંખ્યામાં ઘનાત્મક કરતાં વધારે સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન -36 આપે છે.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો -9 આપે છે.

$$a=-12 b=3$$

4x^{2}-9x-9 ને \left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં 4x અને બીજા સમૂહમાં 3 ના અવયવ પાડો.

$$4x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ x-3 ના અવયવ પાડો.

$$\left(x-3\right)\left(4x+3\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, x-3=0 અને 4x+3=0 ઉકેલો.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 4 ને, b માટે -9 ને, અને c માટે -9 ને બદલીને મૂકો.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

વર્ગ -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

4 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

-9 ને -16 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+144}}{2\times 4}$$

144 માં 81 ઍડ કરો.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

225 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±15}{2\times 4}$$

-9 નો વિરોધી 9 છે.

$$x=\frac{9±15}{2\times 4}$$

4 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{9±15}{8}$$

હવે x=\frac{9±15}{8} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 15 માં 9 ઍડ કરો.

$$x=\frac{24}{8}$$

24 નો 8 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=3$$

હવે x=\frac{9±15}{8} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. 9 માંથી 15 ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{6}{8}$$

2 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{-6}{8} ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{3}{4}$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 9 ઍડ કરો.

$$4x^{2}-9x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

સ્વયંમાંથી -9 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$4x^{2}-9x=-\left(-9\right)$$

0 માંથી -9 ને ઘટાડો.

$$4x^{2}-9x=9$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{4x^{2}-9x}{4}=\frac{9}{4}$$

4 થી ભાગાકાર કરવાથી 4 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x=\frac{9}{4}$$

-\frac{9}{4}, x પદના ગુણાંકને, -\frac{9}{8} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી -\frac{9}{8} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને -\frac{9}{8} નો વર્ગ કાઢો.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{9}{4}+\frac{81}{64}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{81}{64} માં \frac{9}{4} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{225}{64}$$

અવયવ x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

સરળ બનાવો.

$$x-\frac{9}{8}=\frac{15}{8} x-\frac{9}{8}=-\frac{15}{8}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{9}{8} ઍડ કરો.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$