4x^2-5x+1=0 ઉકેલો

$$4 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0$$

x માટે ઉકેલો

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$x=1$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની 4x^{2}+ax+bx+1 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

ab ઘનાત્મક હોવાથી, a અને b સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઋણાત્મક હોવાથી, બંને a અને b ઋણાત્મક છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન 4 આપે છે.

$$-1,-4 -2,-2$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો -5 આપે છે.

$$a=-4 b=-1$$

4x^{2}-5x+1 ને \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં 4x અને બીજા સમૂહમાં -1 ના અવયવ પાડો.

$$4x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ x-1 ના અવયવ પાડો.

$$\left(x-1\right)\left(4x-1\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, x-1=0 અને 4x-1=0 ઉકેલો.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 4 ને, b માટે -5 ને, અને c માટે 1 ને બદલીને મૂકો.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

વર્ગ -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

4 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

-16 માં 25 ઍડ કરો.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

9 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

-5 નો વિરોધી 5 છે.

$$x=\frac{5±3}{2\times 4}$$

4 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{5±3}{8}$$

હવે x=\frac{5±3}{8} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 3 માં 5 ઍડ કરો.

$$x=\frac{8}{8}$$

8 નો 8 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=1$$

હવે x=\frac{5±3}{8} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. 5 માંથી 3 ને ઘટાડો.

$$x=\frac{2}{8}$$

2 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{2}{8} ને ઘટાડો.

$$x=\frac{1}{4}$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 1 નો ઘટાડો કરો.

$$4x^{2}-5x+1-1=-1$$

સ્વયંમાંથી 1 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$4x^{2}-5x=-1$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{1}{4}$$

4 થી ભાગાકાર કરવાથી 4 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{1}{4}$$

-\frac{5}{4}, x પદના ગુણાંકને, -\frac{5}{8} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી -\frac{5}{8} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને -\frac{5}{8} નો વર્ગ કાઢો.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{25}{64} માં -\frac{1}{4} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

અવયવ x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

સરળ બનાવો.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{5}{8} ઍડ કરો.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$