4x^2+4x-15=0 ઉકેલો

$$4 x ^ { 2 } + 4 x - 15 = 0$$

x માટે ઉકેલો

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની 4x^{2}+ax+bx-15 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

ab ઋણાત્મક હોવાથી, a અને b વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઘનાત્મક હોવાથી, ઘનાત્મક સંખ્યામાં ઋણાત્મક કરતાં વધુ સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન -60 આપે છે.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો 4 આપે છે.

$$a=-6 b=10$$

4x^{2}+4x-15 ને \left(4x^{2}-6x\right)+\left(10x-15\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(10x-15\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં 2x અને બીજા સમૂહમાં 5 ના અવયવ પાડો.

$$2x\left(2x-3\right)+5\left(2x-3\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ 2x-3 ના અવયવ પાડો.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+5\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, 2x-3=0 અને 2x+5=0 ઉકેલો.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{5}{2}$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$4x^{2}+4x-15=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 4 ને, b માટે 4 ને, અને c માટે -15 ને બદલીને મૂકો.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

વર્ગ 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

4 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

-15 ને -16 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

240 માં 16 ઍડ કરો.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

256 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 4}$$

4 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-4±16}{8}$$

હવે x=\frac{-4±16}{8} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 16 માં -4 ઍડ કરો.

$$x=\frac{12}{8}$$

4 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{12}{8} ને ઘટાડો.

$$x=\frac{3}{2}$$

હવે x=\frac{-4±16}{8} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. -4 માંથી 16 ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{20}{8}$$

4 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{-20}{8} ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{5}{2}$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{5}{2}$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x-15=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 15 ઍડ કરો.

$$4x^{2}+4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

સ્વયંમાંથી -15 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$4x^{2}+4x=-\left(-15\right)$$

0 માંથી -15 ને ઘટાડો.

$$4x^{2}+4x=15$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{15}{4}$$

4 થી ભાગાકાર કરવાથી 4 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{15}{4}$$

4 નો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x^{2}+x=\frac{15}{4}$$

1, x પદના ગુણાંકને, \frac{1}{2} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી \frac{1}{2} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને \frac{1}{2} નો વર્ગ કાઢો.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{1}{4} માં \frac{15}{4} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=4$$

અવયવ x^{2}+x+\frac{1}{4}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

સરળ બનાવો.

$$x+\frac{1}{2}=2 x+\frac{1}{2}=-2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{1}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{5}{2}$$