4x^2+11x-20=0 ઉકેલો

$$4 x ^ { 2 } + 11 x - 20 = 0$$

x માટે ઉકેલો

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની 4x^{2}+ax+bx-20 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=11 ab=4\left(-20\right)=-80$$

ab ઋણાત્મક હોવાથી, a અને b વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઘનાત્મક હોવાથી, ઘનાત્મક સંખ્યામાં ઋણાત્મક કરતાં વધુ સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન -80 આપે છે.

$$-1,80 -2,40 -4,20 -5,16 -8,10$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$-1+80=79 -2+40=38 -4+20=16 -5+16=11 -8+10=2$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો 11 આપે છે.

$$a=-5 b=16$$

4x^{2}+11x-20 ને \left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં x અને બીજા સમૂહમાં 4 ના અવયવ પાડો.

$$x\left(4x-5\right)+4\left(4x-5\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ 4x-5 ના અવયવ પાડો.

$$\left(4x-5\right)\left(x+4\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, 4x-5=0 અને x+4=0 ઉકેલો.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 4 ને, b માટે 11 ને, અને c માટે -20 ને બદલીને મૂકો.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

વર્ગ 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

4 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

-20 ને -16 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+320}}{2\times 4}$$

320 માં 121 ઍડ કરો.

$$x=\frac{-11±\sqrt{441}}{2\times 4}$$

441 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$x=\frac{-11±21}{2\times 4}$$

4 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-11±21}{8}$$

હવે x=\frac{-11±21}{8} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 21 માં -11 ઍડ કરો.

$$x=\frac{10}{8}$$

2 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{10}{8} ને ઘટાડો.

$$x=\frac{5}{4}$$

હવે x=\frac{-11±21}{8} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. -11 માંથી 21 ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{32}{8}$$

-32 નો 8 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-4$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 20 ઍડ કરો.

$$4x^{2}+11x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

સ્વયંમાંથી -20 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$4x^{2}+11x=-\left(-20\right)$$

0 માંથી -20 ને ઘટાડો.

$$4x^{2}+11x=20$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{4x^{2}+11x}{4}=\frac{20}{4}$$

4 થી ભાગાકાર કરવાથી 4 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=\frac{20}{4}$$

20 નો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=5$$

\frac{11}{4}, x પદના ગુણાંકને, \frac{11}{8} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી \frac{11}{8} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}=5+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને \frac{11}{8} નો વર્ગ કાઢો.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=5+\frac{121}{64}$$

\frac{121}{64} માં 5 ઍડ કરો.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{441}{64}$$

અવયવ x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{441}{64}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{64}}$$

સરળ બનાવો.

$$x+\frac{11}{8}=\frac{21}{8} x+\frac{11}{8}=-\frac{21}{8}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{11}{8} નો ઘટાડો કરો.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$