4n^2-7n=11 ઉકેલો

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

n માટે ઉકેલો

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

બન્ને બાજુથી 11 ઘટાડો.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની 4n^{2}+an+bn-11 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

ab ઋણાત્મક હોવાથી, a અને b વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઋણાત્મક હોવાથી, ઋણાત્મક સંખ્યામાં ઘનાત્મક કરતાં વધારે સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન -44 આપે છે.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો -7 આપે છે.

$$a=-11 b=4$$

4n^{2}-7n-11 ને \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

4n^{2}-11n માં n ના અવયવ પાડો.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ 4n-11 ના અવયવ પાડો.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, 4n-11=0 અને n+1=0 ઉકેલો.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$4n^{2}-7n=11$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 11 નો ઘટાડો કરો.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

સ્વયંમાંથી 11 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 4 ને, b માટે -7 ને, અને c માટે -11 ને બદલીને મૂકો.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

વર્ગ -7.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

4 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-11 ને -16 વાર ગુણાકાર કરો.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

176 માં 49 ઍડ કરો.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

225 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

-7 નો વિરોધી 7 છે.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

4 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

હવે n=\frac{7±15}{8} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 15 માં 7 ઍડ કરો.

$$n=\frac{22}{8}$$

2 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{22}{8} ને ઘટાડો.

$$n=\frac{11}{4}$$

હવે n=\frac{7±15}{8} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. 7 માંથી 15 ને ઘટાડો.

$$n=-\frac{8}{8}$$

-8 નો 8 થી ભાગાકાર કરો.

$$n=-1$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}-7n=11$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

4 થી ભાગાકાર કરવાથી 4 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

-\frac{7}{4}, x પદના ગુણાંકને, -\frac{7}{8} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી -\frac{7}{8} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને -\frac{7}{8} નો વર્ગ કાઢો.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{49}{64} માં \frac{11}{4} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

અવયવ n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

સરળ બનાવો.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{7}{8} ઍડ કરો.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$