4x^2+4x=120 ઉકેલો

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

x માટે ઉકેલો

$$x=-6$$

$$x=5$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

બન્ને બાજુથી 120 ઘટાડો.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x^{2}+x-30=0$$

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની x^{2}+ax+bx-30 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

ab ઋણાત્મક હોવાથી, a અને b વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઘનાત્મક હોવાથી, ઘનાત્મક સંખ્યામાં ઋણાત્મક કરતાં વધુ સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન -30 આપે છે.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો 1 આપે છે.

$$a=-5 b=6$$

x^{2}+x-30 ને \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં x અને બીજા સમૂહમાં 6 ના અવયવ પાડો.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ x-5 ના અવયવ પાડો.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, x-5=0 અને x+6=0 ઉકેલો.

$$x=5 x=-6$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$4x^{2}+4x=120$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 120 નો ઘટાડો કરો.

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

સ્વયંમાંથી 120 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 4 ને, b માટે 4 ને, અને c માટે -120 ને બદલીને મૂકો.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

વર્ગ 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

4 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

-120 ને -16 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

1920 માં 16 ઍડ કરો.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

1936 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

4 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

હવે x=\frac{-4±44}{8} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 44 માં -4 ઍડ કરો.

$$x=\frac{40}{8}$$

40 નો 8 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=5$$

હવે x=\frac{-4±44}{8} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. -4 માંથી 44 ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{48}{8}$$

-48 નો 8 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-6$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$x=5 x=-6$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=120$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

4 થી ભાગાકાર કરવાથી 4 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

4 નો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

120 નો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x^{2}+x=30$$

1, x પદના ગુણાંકને, \frac{1}{2} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી \frac{1}{2} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને \frac{1}{2} નો વર્ગ કાઢો.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

\frac{1}{4} માં 30 ઍડ કરો.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

x^{2}+x+\frac{1}{4} અવયવ. સામાન્યમાં, જ્યારે x^{2}+bx+c સંપૂર્ણ વર્ગ હોય ત્યારે, એને હંમેશા \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે અવયવ કરી શકાય.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

સરળ બનાવો.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{1}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$x=5 x=-6$$